Gerade, die Ebene nicht schneidet

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Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade, die Ebene nicht schneidet
Hallo miteinander

Ich habe folgendes gegeben:




Für welchen Wert von a existiert kein Schnittpunkt der Geraden g_a mit der Ebene ?

Ich habe mir überlegt, dass ich ja den Richtungsvektor der Ebene nehmen kann und ihn mit dem RV der Gerade kreuzen kann. Dann hätte ich einen RV der "neuen", parallelen Gerade. Doch irgendwie hapert meine Idee, denn so komme ich auf keinen grünen Zweig...

Kann mir da jemand helfen?
Danke! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Ebene hat keinen Richtungsvektor, deshalb scheitert dein Ansatz. Schreibe die Komponenten der Geraden x=11+ta,y=...,z=..., setze sie in die Ebenengleichung ein, löse die Gleichung nach t auf, dann erkennst du, was passiert.
nichteuerernst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade, die Ebene nicht schneidet
Zitat:
Ich habe mir überlegt, dass ich ja den Richtungsvektor der Ebene nehmen kann

Du meinst sicher den NORMALENvektor.
Das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Richtungsvektor der Gerade muss 0 sein. Löse also 1*a+4*1+8*(-4)=0.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt "zufällig" mit meinem Ergebnis überein. Zusätzlich bekomme ich den Schnittpunkt von Gerade und Ebene, wenn es einen gibt.
Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja klar, so einfach kanns sein. smile
a ist dann 28. smile

Ich hätte noch eine Frage: Wenn E = (11, 3, 5) und A = (14, 6, -7) Eckpunkte eines regelmässigen Oktaeders sind und das Quadrat ABCD in der Ebene E liegt (die vom vorherigen Post), wie lauten dann die Koordinaten des Punkts B?

Meine Idee: Ich könnte den Betrag berechnen von EA berechnen, denn die Länge EA muss ja gleich sein wie AB.
Dann muss ich irgendwie noch berücksichtigen, dass ABCD in der Ebene E liegt - und da fehlt mir die Idee... wie mache ich das, natürlich zusammen mit der Info über den Betrag?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cinzio22
Ich hätte noch eine Frage: Wenn E = (11, 3, 5) und A = (14, 6, -7) Eckpunkte eines regelmässigen Oktaeders sind und das Quadrat ABCD in der Ebene E liegt (die vom vorherigen Post), wie lauten dann die Koordinaten des Punkts B?

Ich war einen Moment verwirrt, dann war es mir klar: Du meinst Ebene statt . Normalerweise reite ich auf sowas nicht herum, aber im vorliegenden Fall gibt es schließlich einen gleichnamigen Punkt , der (wie ich vermute) einer der beiden restlichen Oktaederpunkte sein soll (der letzte dann wohl ).

Zum Inhalt: Fälle das Lot von auf (den Normalenvektor der Ebene nutzend), dann bekommst du den Mittelpunkt des Oktaeders, zugleich auch Mittelpunkt des Quadrates . Ist nun der Umkugelradius des Oktaeders, dann bekommst du via unmittelbar deinen Punkt heraus. Diese Rechnung geht davon aus, dass bei der (üblichen) Orientierung der Quadrateckpunkte im positiven Umlaufsinn bei Draufsicht auf Ebene der Oktaedereckpunkt "über" dieser Ebene liegt statt drunter. Im Fall "unter" wäre zu rechnen.
 
 
freitagsmöger Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn E eine der Pyramidenspitzen ist (ich würde wegen der Doppelbelegung mit der Ebenenbezeichnung E lieber zu einem anderen bieher nicht benutzten Buchstaben wie z.B. S wechseln) und M der Mittelpunkt im Qudratinneren, dann würde das Kreuzprodukt von und einen Vektor liefern, der mit der richtigen Längenanpassung gemäß auf einen benachbarten Eckpunkt von A zeigt.
Um M zu bestimmen, könnte man z.B. die Lotgerade durch die Spitze E mit der gegebenen Ebene schneiden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eins hatte ich noch vergessen zu erwähnen: Die Angaben sind nur dann zulässig, wenn für den berechneten Punkt auch tatsächlich herauskommt (was hier übrigens der Fall ist). Andernfalls gibt es kein solches regelmäßiges Oktaeder mit in Ebene und Spitze . Ist also gewissermaßen eine Kontrolle, ob der Aufgabensteller nichts verbockt hat (was schon vorgekommen sein soll).
Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000

Vielen Dank für die Antwort. Ich kann praktisch alles nachvollziehen, nur eines ist mir nicht ganz klar: Warum / woher kommt der Faktor 1/r ?

Also mir ist klar, was r ist, ich verstehe auch, warum man das Vektorprodukt aus ME und MA nimmt (um einen Vektor zu kriegen, der auf B (oder D) zeigt) - aber warum multipliziert man das Vektorprodukt mit 1/r ?

Danke für eine Erklärung und deine Zeit!
Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat das mit der HNF zu tun?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

zeigt in die richtige Richtung, aber die Länge stimmt nicht mit der gewünschten Länge von überein:

Alle drei müssen dieselbe Länge haben, eben jenen Oktaeder-Umkugelradius . Da wir wissen (auch durch eben jene Überprüfung, die ich in meinem letztem Beitrag erwähnt habe), und diese beiden Vektoren zudem senkrecht aufeinander stehen, folgt sofort , und das gilt es zu skalieren auf den Wunschwert . Und wie wird man das wohl bewerkstelligen?
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