Saubere Definition einer Folge

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10.11.2023, 10:10

Malcang

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Saubere Definition einer Folge

Hallo mal wieder smile

es geht diesmal nur indirekt um Proth'sche Zahlen Big Laugh

Ich möchte gerne die Folge der angeordneten Proth'schen Zahlen definieren (siehe auch hier).
Bisher habe ich das so gemacht:

Zitat:

Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ eine Proth'sche Zahl.
Dann ist
$\begin{eqnarray*} (n_i)_i = (3,5,9,13,17,\dots) \text{ mit } n_i < n_{i+1} \end{eqnarray*}$
die geordnete Folge der Proth'schen Zahlen. Für eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ als die $\begin{eqnarray*} i- \end{eqnarray*}$ te Proth'sche Zahl bezeichnet.

Ich frage mich, ob das so ok ist? Ich habe den Eindruck, dass es etwas durcheinander geht, und ich das vielleicht eher so machen sollte (müsste?):

Zitat:

Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ eine Proth'sche Zahl.
Dann ist
$\begin{eqnarray*} (n_i)_i \text{ mit } n_i < n_{i+1} \end{eqnarray*}$
die geordnete Folge der Proth'schen Zahlen.
Die ersten Folgenglieder lauten also $\begin{eqnarray*} n_1 = 3, n_2 = 5, n_3 = 9,n_4 = 13,n_5 = 17 \end{eqnarray*}$ .
Für eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ als die $\begin{eqnarray*} i- \end{eqnarray*}$ te Proth'sche Zahl bezeichnet.

Mit gefällt die erste Variante zwar besser, aber ich bin im Umgang mit "sauberen" Ausführungen übervorsichtig.

Was meint ihr?

10.11.2023, 10:42

IfindU

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RE: Saubere Definition einer Folge
Mein Vorschlag:

Sei $\begin{eqnarray*} P \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge aller Proth'sche Zahlen. Da die Menge unendlich ist, existiert eine streng-monotone Folge $\begin{eqnarray*} (n_i)_{i \in \mathbb N} \subset \mathbb P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \{ n_i | i \in \mathbb N \} = P \end{eqnarray*}$ .

Das hat den Vorteil, dass es auch argumentiert, warum es die Folge gibt.

10.11.2023, 11:16

Malcang

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Sehr interessant IfindU, das habe ich so noch nie gesehen. geschockt

Danke sehr, das werde ich mir mal durch den Kopf gehen lassen.

Ich habe nur gerade die Befürchtung, dass ich dann zu sehr um den heißen Brei erzähle. Denn die von dir genannte Folge ist ja genau was, was ich aus der Definition hervorheben will. verwirrt

Edit:
Ich habe es so gemacht. Was meinst du? (Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ habe ich weiter oben bereits definiert.
[attach]57346[/attach]

10.11.2023, 11:25

IfindU

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Mir gefällt es, aber ich bin da etwas voreingenommen Augenzwinkern

Edit: Du kannst die Folge auch explizit definieren mit
$\begin{eqnarray*} n_0 = \min \mathfrak P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_i = \min \left(\mathfrak P \setminus \bigcup_{k =0}^{i-1} \{ n_k\}\right) \end{eqnarray*}$ .

Ob dadurch aber viel gewonnen wird verwirrt

10.11.2023, 12:23

HAL 9000

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Da hat wohl jeder seinen eigenen Geschmack. Mir z.B. würde sowas wie

Sei $\begin{eqnarray*} \left(n_i\right)_{i=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ die aufsteigend geordnete Folge aller Prothschen Zahlen

vollkommen genügen. Es gibt im weiteren Verlauf der Darlegungen sicher noch genügend Gelegenheiten für kompliziert klingende Formulierungen. Augenzwinkern

10.11.2023, 12:29

Malcang

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Hallo HAL,

danke auch dir für den Input smile

15.03.2024, 22:11

Malcang

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Hallo

seid mir bitte nicht böse dass ich diesen alten Thread nochmal hervorkrame, aber er trifft auch eine "allgemeine" Fragestellung smile

Ich habe eine Menge $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ und schreibe

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (n_i)_{i\in\mathbb N} \subset \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit...

Aber eine Folge ist doch keine Teilmenge, oder?
Sollte ich vielleicht schreiben

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (n_i)_{i\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_i\in\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eine Folge mit...

15.03.2024, 22:35

Romaxx

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Ganz klar letztere Schreibweise. Folgen sind Tupel, unendlich oder endlich.
Ob sich IfindU noch erklären wird?

16.03.2024, 10:58

IfindU

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Da ist die Frage wie pedantisch man sein will. Ich kenne das als gängige Schreibweise.

Folgen wie Tupel sind "geordnete" Mengen. Man definiert üblicherweise $\begin{eqnarray*} (a,b) := \{ \{a\}, \{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ und analog alle weitere Tupel. Ganz streng genommen wäre die Folge eine Teilmenge der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal P( \mathfrak{P}) \end{eqnarray*}$ .

Andererseits definiert man gerne Folgen als Abbildungen auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to A \end{eqnarray*}$ , das sind also einfach Funktionen mit Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Mit der gänzen Schreibweise $\begin{eqnarray*} X^Y = \{ f \colon Y \to X\} \end{eqnarray*}$ als Menge aller Funktionen, wäre also $\begin{eqnarray*} (n_i)_{i \in \mathbb N} \in \mathfrak{P}^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Also "Es existiert genau eine bijektive, streng-monotone Folge $\begin{eqnarray*} n \colon \mathbb N \to \mathfrak P \end{eqnarray*}$ . Diese nennen wir die angeordnete Folge der Proth'schen Zahlen"?

16.03.2024, 11:11

Malcang

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Hallo IFindU,

danke dass du dir nochmal die Zeit nimmst

Zitat:

Original von IfindU
Da ist die Frage wie pedantisch man sein will.

Prinzipiell so pedantisch wie möglich Big Laugh

Ich kenne die Schreibweise auch, aber mir fällt auch auf, dass sie "pedantisch" falsch ist.

Deine weiteren Ausführungen verstehe ich und empfinde sie auch als korrekt (aber das ist nur mein Laien-Verständnis).
Für meinen Fall ist das schon wieder zu weit.
Ich gehe zwar davon aus, dass der Leser weiß was eine Folge ist, daher kann ich etwas "salopp" sein.
Aber ich selbst gehe davon aus, dass "Teilmenge" falsch ist und der Leser (mein Gutachter) es als falsch ankreiden könnte.
Das will ich nciht drauf ankommen lassen Big Laugh

Von daher habe ich es nun so gemacht:
[attach]57643[/attach]

Was sagst du dazu?

16.03.2024, 12:17

IfindU

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Dann schreib noch "für alle $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ". Und ganz pedantisch ist der erste Satz nicht Teil der Definition, sondern eine Begründung warum die die Folge $\begin{eqnarray*} (n_i) \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist. Eine maximal-pedantische* Arbeit willst du (und sicher auch dein Betreuer) nicht lesen...

* Vermutlich gibt es auch kein Maximum, es geht immer pedantischer Big Laugh

16.03.2024, 12:21

Malcang

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Zitat:

Original von IfindU
Dann schreib noch "für alle $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ".

Du meinst dort wo jetzt "für alle i" steht?

Zitat:

Original von IfindU
Und ganz pedantisch ist der erste Satz nicht Teil der Definition, sondern eine Begründung warum die die Folge $\begin{eqnarray*} (n_i) \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist. Eine maximal-pedantische* Arbeit willst du (und sicher auch dein Betreuer) nicht lesen...

* Vermutlich gibt es auch kein Maximum, es geht immer pedantischer Big Laugh

Das ist ganz sicher richtig und eigentlich möchte ich das auch nicht so pedantisch. Ich denke mir nur immer "Was wenn Edmund Landau diese Arbeit lesen würde"? Big Laugh

16.03.2024, 12:24

IfindU

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Zitat:

Original von Malcang

Zitat:

Original von IfindU
Dann schreib noch "für alle $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ".

Du meinst dort wo jetzt "für alle i" steht?

Genau. Wir wollen ja pedantisch sein Augenzwinkern

16.03.2024, 12:30

Malcang

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