Satz von Wilson verstehen

11.11.2023, 09:07

Ulrich Ruhnau

Satz von Wilson verstehen

Ich habe zum Beitrag von Michael Penn die Bitte, mir als Leien der Gruppentheorie den Satz von Wilson so gut nahe zu bringen, sodaß ich die Herleitung verstehe.

Warum ist eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} p \ge 2 \end{eqnarray*}$ genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)!+1 durch p teilbar ist?

Mein Problem dabei ist, daß auf Wikipedia im Beweis gleich von einem Restklassenring mit nur zwei zueinander inversen Elementen die Rede ist. Kann man das ganze auch verständlicher ausdrücken? Diese knappen Texte in Wikipedia halte ich für eine Plage.

11.11.2023, 09:30

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Wilson verstehen
Um zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} (p-1)! + 1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist, reicht es zu prüfen welchen Rest es hinterlässt, wenn man durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilt. Wenn der Rest 0 ist, dann ist es teilbar.

Nun ist $\begin{eqnarray*} (p-1)! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot .. \cdot (p-2) \cdot p-1 \end{eqnarray*}$ , am Beispiel $\begin{eqnarray*} p=7 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} (7-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 4 = 1 \cdot 7 + 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 5 = 2 \cdot 7 + 1 \end{eqnarray*}$ . Das sind inverse Elemente, weil die "fast" ein Vielfaches von 7 sind, aber Rest 1 hinterlassen. Bei 7 sind 2 und 4 zueinander inverse, genauso 3 und 5.

D.h. $\begin{eqnarray*} (7-1)! = 1 \cdot (2 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 6 \end{eqnarray*}$ . Um Reste zu untersuchen, kann man den Rest jedes Faktors untersuchen. Modulo 7 ist dann $\begin{eqnarray*} (7-1)! = 1 \cdot (2 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 6 \equiv 1 \cdot1 \cdot 1 \cdot 6 = 6 \mod 7 \end{eqnarray*}$ . Und 6, bzw. allgemeiner, $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ ist das einzige Element, das nicht äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

11.11.2023, 09:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Wikipedia-Bashing halte ich hier für komplett verfehlt: Es ist nicht die Aufgabe des Artikels zum Satz von Wilson, nochmals die gesamten Grundlagen des Restklassenrings modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu wiederholen! Stehen denn in Wikipedia-Artikeln zu speziellen Automodellen auch immer Ausführungen zur Erfindung des Rades?

11.11.2023, 15:57

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Wilson verstehen

Zitat:

Original von IfindU
Nun ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 4 = 1 \cdot 7 + 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 5 = 2 \cdot 7 + 1 \end{eqnarray*}$ . Das sind inverse Elemente, weil die "fast" ein Vielfaches von 7 sind, aber Rest 1 hinterlassen. Bei 7 sind 2 und 4 zueinander inverse, genauso 3 und 5.

Heißt das also 2 und 4 sind zueinander invers bezüglich Multiplikation modulo 7? Man könnte auch zueinander inverse Elemente bezüglich Addition finden. Oder wird die Multiplikation irgendwie sprachlich bevorzugt?

11.11.2023, 19:55

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Stehen denn in Wikipedia-Artikeln zu speziellen Automodellen auch immer Ausführungen zur Erfindung des Rades?

Nun, weil jeder Mensch weiß, was ein Rad ist, aber kaum ein Mensch weiß, was ein Restklassenring bedeutet, hinkt dieser Vergleich schon sehr. Erstaunt2

11.11.2023, 20:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst einfach nicht zugeben, dass dein Gemotze unangebracht war. Das nächste mal dann bitte auf den weiterführenden Link zu "Restklassenring" anklicken und dort die Erklärung durchlesen - dazu wurden diese Hyperlinks erfunden. Immer alles und jedes in ein- und demselben Artikel zu erwarten ist doch wirklich komplett gaga.

11.11.2023, 20:20

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Wilson verstehen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Primzahlen "leben" multiplikativ. Die Defintion von Primzahlen ist $\begin{eqnarray*} p | ab \implies p | a \vee p | b \end{eqnarray*}$ . Der Fundamentalsatz besagt, dass jede Zahl ein endliches Produkt von Primzahlen ist. $\begin{eqnarray*} (p-1)! \end{eqnarray*}$ ist ein Produkt der ersten $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ Zahlen. Und genau hier möchte man verstehen wie das Produkt aussieht, insb. modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , daher macht es viel mehr Sinn über multiiplikative Inverse zu denken.

12.11.2023, 21:39

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Satz von Wilson verstehen
Danke IfindU! smile

Ich sehe jetzt ein, dass das doch ein nicht ganz kleines Problem ist. Kennst du gute Bücher, die unterhaltsam in die Primzahlentheorie einführen?

13.11.2023, 07:44

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zahlentheorie ist nicht leicht zu verstehen und wird erst genießbar, nachdem man große Teile und ihre inneren Zusammenhänge und Zusammenhänge zwischen Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik verstanden hat. Nützlich sind alle Kenntnisse über Mengenlehre, Topologie, Logik und Algebra. Dann empfiehlt sich als Einstieg die sogenannte elementare Zahlentheorie bevor man algebraische, analytische, algorithmische Zahlentheorie und weitere Theorien studiert.
"Elementare Zahlentheorie, Ein sanfter Einstieg in die höhere Mathematik" von Nicola Oswald und Jörn Steuding gibt es als Lehrbuch bei Springer Spektrum.

14.11.2023, 07:18

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Elvis! Ich habe mir dieses Buch gleich bestellt. Freude

14.11.2023, 09:18

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist löblich, und ich wünsche dir viel Spaß und Erfolg bei deinem Studium. Übrigens habe ich vergessen zu sagen, dass elementare Zahlentheorie sich nicht nur mit elementaren Strukturen und Sätzen der Zahlentheorie beschäftigt. Elementar sind nur die Methoden, die in der elementaren Zahlentheorie verwendet werden, deswegen ist dieser Zugang für Anfänger bestens geeignet. Für die höhere Zahlentheorie braucht man dann immer mehr und immer kompliziertere Methoden und Theorien, und man kommt niemals zu einem Ende, weil die Mathematik unendlich groß und unendlich komplex ist.

Neue Frage »

Antworten »

Satz von Wilson verstehen

Verwandte Themen