k-te Einheitswurzeln in F_p

14.11.2023, 13:02

FrageFux

k-te Einheitswurzeln in F_p

Hallo,

mich interessiert, wie man herausfinden kann wie viele $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzeln es in einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ gibt, wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist.

Angenommen wir haben $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{24481} \end{eqnarray*}$ , dann wäre eine Anforderung an eine k-te Einheitswurzel, dass $\begin{eqnarray*} a^{k} = a^{p-1} = 1 \pmod{24481} \end{eqnarray*}$ ist. Ich hatte mal gelesen, dass dann für Einheitswurzeln nur Teiler von $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen, ist das richtig?

Wenn ich also 24481-1 faktorisiere, dann habe ich $\begin{eqnarray*} 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 17 \end{eqnarray*}$
Das hieße etwa, dass es z.B. 32-te Einheitswurzeln in diesem Körper gibt, oder?

14.11.2023, 13:29

HAL 9000

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Das Problem löst sich nahezu in Wohlgefallen auf wenn man berücksichtigt, dass die prime Restklassengruppe $\begin{eqnarray*} \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^{\times} \end{eqnarray*}$ - also der Multiplikationspart von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ - zyklisch ist.

Es gibt also eine Primitivwurzel $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , so dass sich jedes Gruppenelement $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} a=g^r \end{eqnarray*}$ mit irgendeinem $\begin{eqnarray*} r\in\{0,1,\ldots,p-2\} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

$\begin{eqnarray*} a^k=1 \end{eqnarray*}$ ist dann gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} g^{kr}=1 \end{eqnarray*}$ und das wiederum mit $\begin{eqnarray*} kr\equiv 0\bmod (p-1) \end{eqnarray*}$ . Diese lineare Kongruenz besitzt bekanntlich genau $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(k,p-1) \end{eqnarray*}$ Lösungen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , und damit gibt es auch genau so viele $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^k=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von FrageFux
Ich hatte mal gelesen, dass dann für Einheitswurzeln nur Teiler von $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen, ist das richtig?

Du meinst, dass $\begin{eqnarray*} k\mid (p-1) \end{eqnarray*}$ gelten muss? $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ist IMMER $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzel, für jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , bedingungslos.

Und auch sonst kann es ohne Erfüllung dieser Bedingung $\begin{eqnarray*} k\mid (p-1) \end{eqnarray*}$ weitere $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzeln $\begin{eqnarray*} a\neq 1 \end{eqnarray*}$ geben, sofern nur $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(k,p-1) > 1 \end{eqnarray*}$ gilt, s.o.

Vielleicht meinst du es aber auch so: Unter welchen Bedingungen ist die Anzahl der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Einheitswurzeln genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? In dem Fall wäre das dann tatsächlich Bedingung $\begin{eqnarray*} k \mid (p-1) \end{eqnarray*}$ .

14.11.2023, 15:05

FrageFux

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Danke für deine Antwort! Also könnte man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{24481} \end{eqnarray*}$ z.B. die 32ste Einheitswurzel hat? Weil $\begin{eqnarray*} 32 = 2^5 \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 24480 ist. Man könnte dann doch auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{24481} \end{eqnarray*}$ z.B. die 16ste Einheitswurzel hat? Aus dem gleichen Grund, oder? Mich interessiert, ob das von der Formulierung so richtig ist, oder ob man das anders nennen kann/soll.

14.11.2023, 15:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von FrageFux
Also könnte man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{24481} \end{eqnarray*}$ z.B. die 32ste Einheitswurzel hat?

Ich verstehe diese Formulierung nicht. Gemäß obigen Erläuterungen ist die Anzahl der 32ten Einheitswurzeln in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{24481} \end{eqnarray*}$ genau 32. Was du hingegen mit diesem deinen Satz ausdrücken willst, ist mir völlig unverständlich. unglücklich

Was soll das bedeuten, dass ein Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ DIE $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzel hat? Was ist dieses DIE? Wie oben schon gesagt, ist $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ EINE k-te Einheitswurzel.

Also was immer du sagen willst, drücke dich bitte deutlicher aus.

14.11.2023, 15:51

FrageFux

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Fehler meinerseits, ich meine natürlich nicht DIE, sondern EINE smile

14.11.2023, 16:10

HAL 9000

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Ist trotzdem seltsam, denn - ich wiederhole das nun zum dritten mal - die Zahl $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ist stets $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzel, für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Die Frage, ob $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzeln existieren, steht also nie wirklich zur Debatte, sondern immer nur wie viele bzw. welche.

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