k-te Einheitswurzeln in F_p

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FrageFux Auf diesen Beitrag antworten »
k-te Einheitswurzeln in F_p
Hallo,

mich interessiert, wie man herausfinden kann wie viele -te Einheitswurzeln es in einem Körper gibt, wenn eine Primzahl ist.

Angenommen wir haben , dann wäre eine Anforderung an eine k-te Einheitswurzel, dass ist. Ich hatte mal gelesen, dass dann für Einheitswurzeln nur Teiler von in Frage kommen, ist das richtig?

Wenn ich also 24481-1 faktorisiere, dann habe ich
Das hieße etwa, dass es z.B. 32-te Einheitswurzeln in diesem Körper gibt, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem löst sich nahezu in Wohlgefallen auf wenn man berücksichtigt, dass die prime Restklassengruppe - also der Multiplikationspart von - zyklisch ist.

Es gibt also eine Primitivwurzel , so dass sich jedes Gruppenelement via mit irgendeinem darstellen lässt.

ist dann gleichbedeutend mit und das wiederum mit . Diese lineare Kongruenz besitzt bekanntlich genau Lösungen , und damit gibt es auch genau so viele mit .

Zitat:
Original von FrageFux
Ich hatte mal gelesen, dass dann für Einheitswurzeln nur Teiler von in Frage kommen, ist das richtig?

Du meinst, dass gelten muss? ist IMMER -te Einheitswurzel, für jedes , bedingungslos.

Und auch sonst kann es ohne Erfüllung dieser Bedingung weitere -te Einheitswurzeln geben, sofern nur gilt, s.o.

Vielleicht meinst du es aber auch so: Unter welchen Bedingungen ist die Anzahl der -ten Einheitswurzeln genau ? In dem Fall wäre das dann tatsächlich Bedingung .
FrageFux Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort! Also könnte man sagen, dass z.B. die 32ste Einheitswurzel hat? Weil ein Teiler von 24480 ist. Man könnte dann doch auch sagen, dass z.B. die 16ste Einheitswurzel hat? Aus dem gleichen Grund, oder? Mich interessiert, ob das von der Formulierung so richtig ist, oder ob man das anders nennen kann/soll.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrageFux
Also könnte man sagen, dass z.B. die 32ste Einheitswurzel hat?

Ich verstehe diese Formulierung nicht. Gemäß obigen Erläuterungen ist die Anzahl der 32ten Einheitswurzeln in genau 32. Was du hingegen mit diesem deinen Satz ausdrücken willst, ist mir völlig unverständlich. unglücklich


Was soll das bedeuten, dass ein Körper DIE -te Einheitswurzel hat? Was ist dieses DIE? Wie oben schon gesagt, ist für alle und EINE k-te Einheitswurzel.

Also was immer du sagen willst, drücke dich bitte deutlicher aus.
FrageFux Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler meinerseits, ich meine natürlich nicht DIE, sondern EINE smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist trotzdem seltsam, denn - ich wiederhole das nun zum dritten mal - die Zahl ist stets -te Einheitswurzel, für alle und .

Die Frage, ob -te Einheitswurzeln existieren, steht also nie wirklich zur Debatte, sondern immer nur wie viele bzw. welche.
 
 
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