Relationen

14.11.2023, 13:50

Mathelerner231231

Relationen

$\begin{eqnarray*} R_1 := \{(x, y) | x \mod y = 0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 := \{(x, y) | x - y > 0\} \end{eqnarray*}$

Geben Sie für R1, R2, $\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ jeweils an, welche
Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch).

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ : reflexiv, transitiv, antisymmetrisch, nicht symmetrisch
$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ : nicht reflexiv, nicht symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch
$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ : reflexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv
$\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ : nicht reflexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv

Ist das so richtig ? Ich hoffe ja, weil dann hab ich das Thema glaube ich gut verstanden.

lg

14.11.2023, 13:59

AnnaSab

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Hallo, ich bins die Mathelernerin, ich hab vergessen das dazu zu schreiben.
$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ sind beide von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^{+} \times \mathbb{N}^{+} \end{eqnarray*}$

14.11.2023, 14:39

Elvis

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Das ist eine etwas mühselige Aufgabe, weil sie mit Denkarbeit verbunden ist. Ich glaube, du hast das Thema erst dann verstanden, wenn du alle deine Antworten vollständig begründen kannst. Zufällig recht haben genügt vielleicht in der Schule aber nicht an einer Hochschule.

14.11.2023, 15:05

AnnaSab

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Du hast recht, es tut mir leid. Ich weiß es wirklich erst, wenn ich es auch gut begründen kann.

Hier meine Überlegungen und meine Ansätze:

$\begin{eqnarray*} R_1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ ist reflexiv, da $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{N}^{+} \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R_1 \end{eqnarray*}$ . Rein intuitiv, da $\begin{eqnarray*} x \mod x = 0 \end{eqnarray*}$ ist und ich einfach nur das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vertausche, ist das Ergebnis trotzdem gleich 0, somit ist jedes $\begin{eqnarray*} (x,x) \end{eqnarray*}$ auch in der Relation enthalten.

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ ist nicht symmetrisch, da $\begin{eqnarray*} (2,1) \in R_1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (1,2) \notin R_1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 2 \mod 1 =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \mod 2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ ist antisymmetrisch, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ reflexiv ist, aber nicht symmetrisch.

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ ist transitiv, wenn $\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in \mathbb{N}^{+} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_1 \wedge (y,z) \in R_1 \to (x,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ .

Angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_1 \wedge (y,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ , dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} x \mod y = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \mod z = 0 \end{eqnarray*}$ . Und daraus folgt $\begin{eqnarray*} x \mod z = 0 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} (x,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ , somit ist es transitiv.

$\begin{eqnarray*} R_2: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht reflexiv, da $\begin{eqnarray*} (2,2) \notin R_2 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 2-2 > 0 \end{eqnarray*}$ keine wahre Aussage ist.

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht symmetrisch, da $\begin{eqnarray*} (2,1) \in R_2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (1,2) \notin R_2 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 1-2 < 0 \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ ist antisymmetrisch, da $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ nicht reflexiv ist und nicht symmetrisch ist.

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ ist transitiv, wenn $\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in \mathbb{N}^{+} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_2 \wedge (y,z) \in R_2 \to (x,z) \in R_2 \end{eqnarray*}$ .

Angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_2 \wedge (y,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ , dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} x - y > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y - z > 0 \end{eqnarray*}$ . Und daraus folgt $\begin{eqnarray*} x - z > 0 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} (x,z)\in R_2 \end{eqnarray*}$ , somit ist es transitiv.

$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ ist reflexiv, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ reflexiv ist.
$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht symmetrisch, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ nicht symmetrisch sind. (Wenn eines der beiden Relationen symmetrisch wäre, würde ich sagen, dass es dann wieder symmetrisch ist.)

$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ ist antisymmetrisch, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ antisymmetrisch sind.
$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ ist transitiv, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ transitiv sind.

$\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht reflexiv, da durch den Schnitt die Elemente die mit sich selber in Relationen stehen verloren gehen. Anders ausgedrückt, da $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ nicht reflexiv ist, ist der Schnitt auch nicht reflexiv.
$\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht symmetrisch, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ nicht symmetrisch sind.
$\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ ist antisymmetrisch, da $\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ nicht symmetrisch ist.
$\begin{eqnarray*} R_1 \cap R_2 \end{eqnarray*}$ ist transitiv, da $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ transitiv ist.

14.11.2023, 15:30

Elvis

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Vieles ist richtig, manches unzureichend begründet und nicht alles richtig. Besondere Vorsicht ist geboten, weil eine Relation nicht entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein muss, es kann auch keine dieser beiden Eigenschaften vorliegen. Bei R2 wünschst du dir die Transitivitaet, um sie zu beweisen, kannst du z.B. x-y und y-z addieren. Für Vereinigung und Durchschnitt sind exakte und ausführliche Beweise notwendig, das ist mir alles zu kurz und deshalb unklar.

14.11.2023, 15:49

AnnaSab

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Aber sind die Zuordnungen richtig für $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Zitat:

kannst du z.B. x-y und y-z addieren.

Verstehe. Wenn ich nämlich $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y-z \end{eqnarray*}$ addiere.
$\begin{eqnarray*} x-y + y-z = x-z + y-y \Rightarrow x-z + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

weil eine Relation nicht entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein muss, es kann auch keine dieser beiden Eigenschaften vorliegen.

Aber wenn eine Relation nicht symmetrisch ist, aber reflexiv, folgt da direkt die Antisymmetrie ? verwirrt

$\begin{eqnarray*} R_1 \cup R_2 = \{(x,y) \in \mathbb{N}^+ \times \mathbb{N}^+| (x \mod y = 0) \lor (x-y = 0)\} \end{eqnarray*}$

- ist reflexiv.

Begründung:
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{N}^{+} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R_1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray*} x \mod x = 0 \end{eqnarray*}$ . Und in dem Fall ist es egal, ob $\begin{eqnarray*} x-x > 0 \end{eqnarray*}$ ist, da der linke Teil der Oder-Verknüpfung erfüllt ist, stehen alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ mit sich selber in Relation und daraus folgt Reflexivität.

- ist nicht symmetrisch

Begründung:
Wähle $\begin{eqnarray*} (2,1) \in R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 2 \mod 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (1,2) \notin R_1 \cup R_2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \mod 2 \neq 0 \wedge 1-2 < 0 \end{eqnarray*}$

Ich mach mal Schritt für Schritt bevor ich irgendwo weitere Fehler mache.

Ist es so besser ?

14.11.2023, 16:05

Elvis

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Beweis für transitiv bei R2 ist falsch. Besser: x-z=(x-y)+(y-z)>0, weil die Summe von zwei positiven Zahlen positiv ist.

Bei allgemeinen Aussagen wäre ich sehr vorsichtig. Ohne Beweis glaube ich gar nichts.

Ein Beweis : Wenn eine Relation R reflexiv ist, dann ist auch die Vereinigung mit anderen Relationen reflexiv, weil keine Elemente verloren gehen, also die Elemente (x,x) aus R in der Vereinigung liegen.

14.11.2023, 16:10

AnnaSab

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Oha, das man das so formulieren kann, wusste ich nicht. Ich dachte ein mathematischer Beweis ist immer verbunden mit irgendwelchen Annahmen oder mathematischen Formeln und sowas. Hast du Tipps für mich wie ich lerne richtig zu beweisen?

14.11.2023, 17:10

Elvis

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Das kann man nicht nur so formulieren, man muss es auch. Wenn man einen Beweis macht, dann muss man sich selbst davon überzeugen, dass die eigenen Gedanken logisch richtig und vollständig sind. Das geht nur mit Worten. Mit denselben Worten muss man andere Leute überzeugen können, auch solche, die sich nicht so gut mit Formeln auskennen.
Formeln in der Mathematik und speziell in Beweisen werden benutzt, weil sie oft durchsichtiger und leichter zu formulieren und leichter zu verstehen sind als Sätze in natürlicher Sprache, und man benutzt sie, um Beweise kurz und knackig aufzuschreiben.
Doch es ist ganz sicher, dass man Beweise am besten führen kann, indem man formale und natürliche Sprache didaktisch geschickt mischt. In jedem Lehrbuch und in jeder Vorlesung wird das so gemacht. Höre Vorlesungen, lies Skripten, lies Lehrbücher und achte nicht nur auf den Sinn des Inhalts, also den informationellen Gehalt, sondern auch auf den Stil, also die Form des Inhalts. Die Form, mit der du selbst am besten lernst, sollst du nachmachen, dann lernst du, gute Beweise zu führen.

Nachtrag: Ich fange gerade an, mich zu befassen mit
Jehuda ben Samuel ha Levi (1074 Tudela-1141 Jerusalem oder Kairo) "Das Buch der Argumentation und des Beweises für den Triumph der verachteten Religion"
Ob dadurch meine mathematischen Beweise besser werden, weiß ich noch nicht, aber philosophisch könnte das spannend werden.

15.11.2023, 07:52

Elvis

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Du wolltest wissen, ob jede reflexive und nicht symmetrische Relation antisymmetrisch ist. Betrachten wir die Liebe unter den Menschen, dann bieten schon die Dreiecksbeziehungen eine Fülle von Beispielen. Ich greife als eine Relation Hensel, Gretel und die heXe auf. Jede/r liebt sich, also (H,H), (G,G), (X,X) reflexiv, Hensel und Gretel lieben sich (H,G), (G,H), die Hexe hat beide zum Fressen gern (X,H,), (X,G), was nicht auf Gegenseitigkeit beruht, also nicht symmetrisch. Man kann daraus nicht schließen, dass Hensel und Gretel eine Person sei, also nicht antisymmetrisch. Wie ich schon sagte, muss man mit Annahmen immer vorsichtig sein und jede Vermutung beweisen oder widerlegen. Wie meine Oma schon sagte : "Glauben heißt nicht Wissen."

15.11.2023, 12:18

AnnaSab

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Zitat:

Original von Elvis
Du wolltest wissen, ob jede reflexive und nicht symmetrische Relation antisymmetrisch ist. Betrachten wir die Liebe unter den Menschen, dann bieten schon die Dreiecksbeziehungen eine Fülle von Beispielen. Ich greife als eine Relation Hensel, Gretel und die heXe auf. Jede/r liebt sich, also (H,H), (G,G), (X,X) reflexiv, Hensel und Gretel lieben sich (H,G), (G,H), die Hexe hat beide zum Fressen gern (X,H,), (X,G), was nicht auf Gegenseitigkeit beruht, also nicht symmetrisch. Man kann daraus nicht schließen, dass Hensel und Gretel eine Person sei, also nicht antisymmetrisch. Wie ich schon sagte, muss man mit Annahmen immer vorsichtig sein und jede Vermutung beweisen oder widerlegen. Wie meine Oma schon sagte : "Glauben heißt nicht Wissen."

Verstehe. Also, wenn ich dich richtig verstehe. Wenn Hensel und Gretel sich nicht lieben würden, dann wäre es wiederum antisymmetrisch. Oder wenn noch Hensel und Gretel beide die Hexe lieben würden, dann wäre es wiederum symmetrisch.

Und Allgemein zu Beweisen, ich kann einige sogar verstehen. Aber dann stelle ich mir die Frage, wie das Leute so schaffen, sich sowas auszudenken. Ich bin mega interessiert an Beweisen, manchmal schaue ich mir auf Youtube irgendwelche Beweise an, aber ich verstehe sie nicht. Aber irgendwie hab ich trotzdem das Verlangen danach mir das bis zum Ende anzuschauen.

15.11.2023, 14:01

Elvis

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Die Märchen-Relation habe ich bewusst so und nicht anders gewählt. Das ist ein Beispiel für eine reflexive und nicht symmetrische Relation, die nicht antisymmetrisch ist. Also ist bewiesen, dass nicht jede Relation, die reflexiv und nicht symmetrisch ist, antisymmetrisch ist. Deine entsprechende Frage ist damit durch einen logisch - mathematischen Beweis negativ entschieden worden. Beweisprinzip: Wenn ein Gegenbeispiel für eine Aussage existiert, dann ist die Aussage falsch. Genau so beweist man durch geeignete Beispiele, dass alle Begriffe reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv voneinander unabhängig sind. Wie lernt man beweisen? Man studiert Beweise, versucht selbst welche zu führen und ist dabei sehr selbstkritisch. Nach 50 Jahren Übung wird es etwas leichter.

Nachtrag: Aristoteles "De anima" III 5, intellectus possibilis, intellectus agens
siehe kurze Erklärung hier (Minute 17-25) : https://timms.uni-tuebingen.de/tp/UT_202...juedphilos_0001

17.11.2023, 08:13

Elvis

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Es gibt sogar ein Buch zum Thema (das ist nicht erstaunlich, denn es gibt zu jedem Thema 1000 Bücher):

Beweisen lernen Schritt für Schritt: für einen gelungenen Einstieg ins Mathestudium Taschenbuch – 14. August 2020, von Michael Junk (Autor), Jan-Hendrik Treude (Autor)

https://www.amazon.de/Beweisen-lernen-Sc...aps%2C94&sr=8-4

17.11.2023, 12:31

AnnaSab

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Das Buch gibt es sogar in meiner Bücherei. Ich werde mal reinstöbern. Ich danke dir vielmals für deine Hilfe und für deine Empfehlungen. Das hat mir wirklich richtig geholfen. Herz

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