Summenzeichen mit zwei Laufvariablen

14.11.2023, 20:15

Peterlein

Summenzeichen mit zwei Laufvariablen

Meine Frage:
Ich möchte die Summe über ein Produkt aus zwei Faktoren mit Index (jeweils 1 ... N) für alle möglichen Variationen ausdrücken, wobei die Indizes nicht gleich sein dürfen, also:
$\begin{eqnarray*} R_1 R_2 + R_1 R_3 + \dots + R_1 R_N + R_2 R_3 + R_2 R_4 + \dots + R_2 R_N + \dots + R_{N-1} R_N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mir nun unsicher ob die richtige Notation folgende ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\neq m=1}^N R_n R_m \end{eqnarray*}$
oder doch
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1,\, m=1,\, n\neq m}^N R_n R_m \end{eqnarray*}$

Vielen Dank,
Peter

14.11.2023, 20:45

jester.

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Deine Darstellung in Pünktchenschreibweise, also $\begin{eqnarray*} R_1 R_2 + R_1 R_3 + \dots + R_1 R_N + R_2 R_3 + R_2 R_4 + \dots + R_2 R_N + \dots + R_{N-1} R_N \end{eqnarray*}$ , scheint sich nicht zu decken mit "für alle möglichen Variationen [...], wobei die Indizies nicht gleich sein dürfen".
Anhand des Textes würde ich nämlich neben $\begin{eqnarray*} R_1 R_2 \end{eqnarray*}$ auch noch $\begin{eqnarray*} R_2 R_1 \end{eqnarray*}$ erwarten.

Dein Ausdruck in Pünktchenschreibweise lässt sich jedenfalls als $\begin{eqnarray*} \sum_{1\leq i < j \leq N} R_i R_j \end{eqnarray*}$ beschreiben.
Je nach dem, was nun tatsächlich gebraucht wird, könntest du auch $\begin{eqnarray*} \sum_{1 \leq i \neq j \leq N} R_i R_j \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ich glaube beide Schreibweisen sind nicht untypisch, während deine Schreibweisen mir ein wenig ungewöhnlich vorkommen.

14.11.2023, 20:55

IfindU

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Ich schließe mich jester. an. Eine weitere Möglichkeit mit zwei Summenzeichen wäre $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i+1}^n R_iRj \end{eqnarray*}$ .

Wenn man etwas mehr Platz hat, kann man natürlich auch sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \left ( \sum_{i,j = 1}^n R_i R_j \right) - {\color{red}{\frac 1 2}}\sum_{i=1}^n R_i^2 \end{eqnarray*}$ schreiben.

Edit: Das zweite gilt natürich nur, wenn die Multiplikation an der Stelle kommutativ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} R_i R_j = R_j R_i \end{eqnarray*}$

Edit 2: Danke @HAL, das rote ergänzt. Gar nicht so einfach zu zählen Big Laugh

14.11.2023, 20:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Wenn man etwas mehr Platz hat, kann man natürlich auch sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \left ( \sum_{i,j = 1}^n R_i R_j \right) - \sum_{i=1}^n R_i^2 \end{eqnarray*}$ schreiben.

Über die Positionierung der Klammer würde ich nochmal nachdenken. Oder aber der hinteren Summe auch noch einen Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ spendieren. Augenzwinkern

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