Syntax arcsin() und sin^(-1)()

17.11.2023, 21:39

steviehawk

Syntax arcsin() und sin^(-1)()

Meine Frage:
Hallo zusammen,

wenn ich in einer trigonometrischen Gleichung den Arkussinus anwende, ist das symbolisch falsch, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} arcsin() \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} sin^{-1}() \end{eqnarray*}$ hinter den Kommandostrich als Operation schreibe?

Meine Ideen:
Mein erster Impuls wäre, dass beides geht? $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bezeichnet ja auch allgemein die Umkerfunktion?

Vielen Dank für eure Meinungen?
Stevie

17.11.2023, 22:12

HAL 9000

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Schreib besser $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ , sonst weckst du schlafende Hunde:

Bei positiven $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ steht $\begin{eqnarray*} \sin^k(x) \end{eqnarray*}$ üblicherweise für $\begin{eqnarray*} (\sin(x))^k \end{eqnarray*}$ , und bei $\begin{eqnarray*} k=-1 \end{eqnarray*}$ soll es aber plötzlich anders sein? Inkonsequent.

P.S.: Dass die meisten Taschenrechner-Hersteller auch diese Inkonsequenz pflegen, ist bedauerlich aber wohl nicht so einfach zu ändern.

18.11.2023, 10:08

IfindU

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Wie HAL sagt geht beides, aber bei $\begin{eqnarray*} \sin^{-1} \end{eqnarray*}$ ist man auf den Kontext angewiesen, um zu verstehen ob man das Inverse bzgl. der Komposition (d.h. $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ) oder das punktweise Inverse der Multiplikation (d.h. $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sin} \end{eqnarray*}$ ) meint. Je eindeutiger man etwas schreiben kann, desto besser.

An der Stelle würde ich sogar $\begin{eqnarray*} \sin^k \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \sin^k(x) = \sin(x)^k \end{eqnarray*}$ zu otieren als die unsaubere Variante ansehen, da man links die Funktion als Objekt zur Potenz $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ erhebt und das erst einnmal nicht zwingend 1:1 punktweise zu interpretieren ist. (Wie z.B. bei der Umkehrfunktion).

Da es allerdings bei weitem háufiger benötigt wird als die Komposition und des ehrlich gesagt ziemlich nervig ist wäre es komplett sauber aufzuschreiben ( $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos(x)^2 \end{eqnarray*}$ vs. $\begin{eqnarray*} [\sin x]^2 + [\cos x]^2 \end{eqnarray*}$ ) kann ich verstehen warum man an der Stelle es punktweise interpretieren móchte. Leider gibt es dann einen Konflik zwischen beiden Notationen, da es eben verschiedene Gruppenoperationen sind, die plötzlich gemeinsam notiert werden.

TL;DR: Mach was HAL dir sagt Big Laugh

18.11.2023, 11:26

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
... sonst weckst du schlafende Hunde

Brrruh! Wer hat mich aus tiefem Schlaf erweckt...

Ich will den Beitrag von IfindU etwas ausführen:

Letzlich hat man zwei verschiedene "multiplikative" Operationen für (reelle) Funktionen, die hier zu einem Bezeichnungskonflikt führen.

1. Da ist zunächst die gewöhnliche Multiplikation für Funktionen, die punktweise definiert ist: $\begin{align*} f \cdot g \end{align*}$ ist diejenige Funktion mit $\begin{align*} \left(f \cdot g \right)(x) = f(x) \cdot g(x) \end{align*}$ . Das neutrale Element ist die Funktion konstant 1, also $\begin{align*} 1(x) = 1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ , wenn man so will. Und bezeichnet man für diese Multiplikation das Inverse mit $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)} \end{align*}$ gemeint. Potenzen bedeuten hier beispielsweise $\begin{align*} f^2(x) = f(x) \cdot f(x) \end{align*}$ , so ist auch $\begin{align*} \sin^2 \end{align*}$ die Funktion mit $\begin{align*} \sin^2(x) = \left( \sin(x) \right)^2 \end{align*}$ . Das ist in sich konsequent und logisch. Ich sehe das, anders als IfindU, nicht als unsauber an.

2. Man spricht aber auch der Verkettung $\begin{align*} \circ \end{align*}$ von Funktionen multiplikativen Charakter zu. Das ist von der modernen Algebra, etwa der Gruppentheorie, in die klassische Analysis herübergeschwappt. Dann ist unter geeigneten Voraussetzungen $\begin{align*} f \circ g \end{align*}$ diejenige Funktion mit $\begin{align*} \left( f\circ g \right)(x) = f \left( g(x) \right) \end{align*}$ . Das neutrale Element für die Verkettungsoperation ist die Identität $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ mit $\begin{align*} \varepsilon(x) = x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ . Man kann für die Verkettung als "Multiplikation" das Inverse bilden, das ist dann, sofern existent, diejenige Funktion $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} f^{-1} \circ f = \varepsilon \end{align*}$ , also $\begin{align*} \left( f^{-1} \circ f \right)(x) = f^{-1} \left( f(x) \right) = x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ . In diesem Zusammenhang ist es durchaus sinnvoll, $\begin{align*} \sin^{-1} = \arcsin \end{align*}$ zu schreiben.

Betreibt man klassische Analysis, sollte man $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} \sin^{-1} \end{align*}$ schreiben. Ich halte Letzteres wie HAL für ein Unding. Daß das auf den gängigen Taschenrechnern so steht, ist grober Unfug. Aber wie vieler Blödsinn, den man nur oft genug wiederholt, empfinden die Leute das irgendwann als richtig und übernehmen es kritiklos. Spätestens wenn HAL und ich in den ewigen Jagdgründen sind, wird das keinen im MatheBoard mehr stören (sofern das MatheBoard bis dahin nicht auch im Internet-Nirwana aufgegangen ist).

Wenn ich dagegen Funktionen der Analysis unter eher algebraischen Strukturen, etwa im Sinne der Gruppentheorie mit der Verkettung als Gruppenoperation, behandle, erlaube ich mir auch, $\begin{align*} f^2 = f \circ f \end{align*}$ oder $\begin{align*} f^3 = f \circ f \circ f \end{align*}$ und so weiter zu schreiben. Dann meine ich mit $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ auch die Umkehrfunktion. Ich mache das aber nicht kommentarlos, sondern vermerke das am Anfang, wenn ich Bezeichner und Schreibweisen einführe.

Bei Funktionsbezeichnern wie $\begin{align*} f, g \end{align*}$ , die nur lokal Gültigkeit besitzen, verwende ich $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ generell als Bezeichnung für die Umkehrfunktion. Da bin ich letztlich auch nicht konsequent.

Und jetzt legt sich der Hund wieder schlafen...

19.11.2023, 08:08

steviehawk

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Guten Morgen zusammen,

ich danke euch für Eure Ausführungen, die mir sehr geholfen haben Wink

Viele Grüße und schönen Sonntag
Stevie

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