Lineare Abbildungen

20.11.2023, 11:52	mathbirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen Meine Frage: Sei A eine Matrix mit Zeilenvektoren (1, 1) und (0, -1) & fA: R^2 -> R^2, f(x) = Ax eine lineare Abbildung (x ist beliebiger Vektor aus R^2), so soll ich zeigen das für jedes x aus R^2, eine eindeutige Darstellung x = u + v, mit fA(u) = u & fA(v) = -v, existiert. Wie gehe ich hier vor? Meine Ideen: Meine Idee war es erstmal fA(u) = u = (u1,u2) = EM * (u1,u2) = Au umzuschreiben (Das EM steht für Einheitsmatrix). Und bei fA(v) analog, mur das da die EM negative 1en hat. Weiter wusste ich aber nicht.
20.11.2023, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine Basis aus Eigenvektoren, und du bist fast fertig. Um zu verstehen und zu erklären, wie alles zusammenpasst, musst du nur noch ein wenig Schreibarbeit leisten.
18.05.2024, 22:01	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mathbirl. Deine Frage ist schon alt, ich weiß. Ich möchte trotzdem darauf antworten. Dein Ansatz fA(u) = u = (u1,u2) = EM * (u1,u2) = Au trifft die Sache nicht so richtig. So geht’s besser: $\begin{eqnarray} f_A(u) = u \quad \implies \quad A u = u \quad \implies \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt alles ausrechnen und nach $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray*}$ auflösen. Auf diese Weise erfährst du, wie der Vektor u aussieht.

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