Injektive Funktion

20.11.2023, 20:12	AnnaSab	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektive Funktion Ich hab im Skript einen Satz gefunden, den ich gerne als Übung beweisen möchte. Ist dieser Beweis so ok ? Sei $\begin{eqnarray} f: M \to N \end{eqnarray}$ eine injektive Funktion. Dann ist $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ eine injektive Funktion. Seien $\begin{eqnarray} x,y \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \in N \end{eqnarray}$ beliebig. Dann soll gelten $\begin{eqnarray} (x,z) \in f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y,z) \in f \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} (z,x) \in f^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (z,y) \in f^{-1} \end{eqnarray}$ , da nun f injektiv ist, folgt $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ .
20.11.2023, 22:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach meinem Verständnis von Funktionen existiert die Umkehrfunktion nur für bijektive Funktionen und ist wieder bijektiv. Wenn man die "Umkehrfunktion" nicht auf N sondern nur auf dem Bild f(M) aus N definiert, ist f:M-->f(M) bijektiv, falls f injektiv ist, also auch die "Umkehrfunktion" bijektiv. Für diese seltsam definierte "Umkehrfunktion" stimmt dein Beweis. Im richtigen Leben ist dein Beweis falsch, denn du kannst nicht ein beliebiges z aus N nehmen, für das (x,z) in f liegt.
21.11.2023, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anders formuliert: Falls $\begin{eqnarray} f(M)\subsetneq N \end{eqnarray}$ , dann kann es keine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}:~N\to M \end{eqnarray}$ geben, denn ganz egal wie man $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ festlegt, es ist dann $\begin{eqnarray} f\left(f^{-1}\left(n\right)\right)=n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in N\setminus f(M) \end{eqnarray}$ nicht erfüllbar, und damit ist $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ keine Umkehrfunktion.
21.11.2023, 10:39	AnnaSab	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Vielen lieben Dank für eure Hilfe.

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