sin(alpha)=sin (180°-alpha)

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Trgi Auf diesen Beitrag antworten »
sin(alpha)=sin (180°-alpha)
Wer kann mir diesen Zusammenhang erklärlen.

Ich sehe am Einheitskreis, wenn der Winkel weiterläuft, dass die y-Koordinate bei einem Winkel von 30° genauso groß ist, sie die y-Koordinate, wenn ich den Winkel auf 150° drehe.

Was ich daran nicht verstehe ist, dass wenn der Winkel auf 150° weitergedreht ist, liegen diese 150° ja nicht in einem rechtwinkligen Dreieck, was ja allein aufgrund der Winkelsummer nicht mehr funktioniert. Für die Verwendung von Sinus , benutzt man hier also das nebenan entstandene Dreieck, dass wieder einen Winkel von 30° aufweist.
Aber warum ist es dann trotzdem der SINUS von 150°, wenn es doch gar nicht im rehtwinkligen Dreieck vorkommt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst deutlich unterscheiden: Definition der Winkelfunktionen

a) im rechtwinkligen Dreieck
b) im Einheitskreis

a) ist nur geeignet für spitze bzw. im Grenz- bzw. Entartungsfall auch für rechte Winkel bzw. am anderen Ende Winkel 0. Sprich: Für Winkel im ersten Quadranten.

b) ist für sämtliche Winkel aus dem Vollkreis gedacht. Selbstverständlich sollte diese Definition der von a) nicht widersprechen, d.h., im ersten Quadranten sollte dasselbe rauskommen wie bei a).


Wenn du nun also bei einem Winkel von 150° (liegt im zweiten Quadranten) von rechtwinkligem Dreieck redest, dann scheinst du Definition a) auf diesen Winkel anwenden zu wollen, was schlicht nicht geht.


Im Prinzip kann man ganz auf a) als Definition verzichten, aber sowohl aus geometrischen als auch didaktischen Gründen führt man die Schüler zunächst per a) an die Winkelfunktionen heran.
Trgi2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok.
Es ging nämlich dabei um die Herleitung des Kosinus-Satzes für stumpfwinklige Dreiecke und da muss man die Eigenschaft verwenden.
Und wir haben bisher ja nur mit den Dreiecken gearbeitet aber trotzdem im Einheitskreis gesehen, wo die Werte für sinus etc. herkommen .

Also wie genau lautet die Definition von Sinus , wenn man nicht die Definition Gegenkathete durch Hypotnetuse im rechtwinkligen Dreieck verwendet?

Korrektur aus späterem Folgebeitrag übernommen und diesen gelöscht. Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man kurz so zusammenfassen:

Sei gegeben. Ziehe einen vom Koordinatenursprung beginnenden Strahl, der im Winkel zur positiven x-Achse verläuft (im mathematisch positiver Drehsinn gemeint, d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn). Dieser Strahl schneidet den Einheitskreis im Punkt . Dann legt man fest



, nur für erlaubt
, nur für erlaubt.

Wie gesagt, entspricht im ersten Quadranten der Definition a), erklärt aber in den anderen Quadranten die diversen Vorzeichen der Winkelfunktionswerte, denn im Gegensatz zu irgendwelchen Dreiecksseiten kann oben sowohl als auch in den Quadranten zwei bis vier vorkommen.

Und für beliebige reelle Winkel gilt das genauso, nur dass der o.g. Strahl noch ein paar zusätzliche Vollkreisumdrehungen in Einheitskreis vollführt, was die Periode von Sinus- und Kosinusfunktion erklärt: Denn dreht man den Strahl um so einen Vollkreiswinkel, landet man natürlich wieder im selben Punkt auf dem Einheitskreis. Augenzwinkern
trigi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wirklich noch eine vielleicht blöde Frage zur Herleitung des Kosinussatzes steht auf einem Arbeitsblatt folgendes:

Das Dreieck ABC sei stumpfwinlig (gamma >90°).
zeichne die Höhe h(b) mit Höhenfußpunkt F. Die Seite b wird dadurch um CF=u verlängert.
Für AF=v ergibt sich somit v=b+u

Das Dreieck BFC ist rehtwinklig
Da sin (gamma) = sin (180°-gamma) ist , gilt sin (gamma)=h(b)/a



An dieser Stelle muss ich nachfragen. Der Nebenwinkle von Gamma befindet sich ja im rechtwinkligen Dreieck BFC. Daher kann ich für diesen Winkel den sinus wert bestimmen.
GAmma selbst liegt aber ja nicht in einem rechtwinkligen Dreieck. Wieso gilt hier dann trotzdem der sinus? An der Stelle versthe ich nicht ganz wie man das erklären soll.

Meiner Meinung nach wäre es ja so, dass man eben weiß, dass der Sinus des Nebenwinkels aufgrund der rehtwinkligen Dreiecks so berechnet werden kann. Und dass man dann für gamma auch diesen Sinuswert, bzw. das Verhälnis von h(b)/a verwenden kann, da man am Einheitskreis gesehen hat, dass sich diese Werte entsprechen. Auch wenn gamma selbst nicht im rechtwinkligen Dreieck liegt.

Es war nicht ganz klar wieso das geht, da gamma ja eben nicht selbst in einem rechtwinkligen Dreieck liegt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt ja eben aufgrund der Definition b) im Einheitskreis!!!

Du zeichnest zwei Ursprung-Strahlen im Koordinatensystem ein, der erste im Winkel und der zweite im Winkel , zugehörig die Schnittpunkte und mit dem Einheitskreis. Die beiden Strahlen liegen dabei symmetrisch bzgl. der -Achse, was zu sowie führt, übersetzt gemäß Definition b):





Letzteres wird dann hier in deiner Situation genutzt mit den beiden Nebenwinkeln und !


Also alles nochmal in der richtigen logischen Reihenfolge:

Hier haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit Innenwinkel bei , das ergibt gemäß Definition a) dann . Wegen obiger Überlegung im Einheitskreis ist damit aber dann auch .
 
 
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