Funktionsbeweis

21.11.2023, 11:42

AnnaSab

Funktionsbeweis

Es seien $\begin{eqnarray*} f : A \to B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g : A \to B \end{eqnarray*}$ beliebige Funktionen.

Zu Beweisen/Widerlegen ist $\begin{eqnarray*} f \setminus g \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

Wir stellen nur die Forderung, dass eine Funktion rechtseindeutig sein muss und sie muss nicht linkstotal sein.

Rein intuitiv würde ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} f \setminus g \end{eqnarray*}$ wieder eine Funktion ist, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Funktionen sind.

Beweis:

Seien o. B. d. A. $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray*} (a,b) \subseteq f \setminus g \end{eqnarray*}$ . Insbesondere gilt auch $\begin{eqnarray*} f \setminus g \subseteq f \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |f \setminus g| \leq |f| \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist und somit rechtseindeutig, existiert kein $\begin{eqnarray*} b' \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (a,b') \in f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,b') \in f \end{eqnarray*}$ gilt. Und daraus folgt $\begin{eqnarray*} f \setminus g \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion.

Ist das so richtig ?

Liebe Grüße und danke im voraus.

21.11.2023, 12:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von AnnaSab
Seien o. B. d. A. $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray*} (a,b) \subseteq f \setminus g \end{eqnarray*}$ .

Hier steige ich schon aus: Wieso soll das für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gelten? unglücklich

Außerdem wenn schon, dann müsste diese (falsche) Behauptung lauten $\begin{eqnarray*} (a,b) \in f \setminus g \end{eqnarray*}$ , also Element statt Teilmenge.

Zitat:

Original von AnnaSab
Insbesondere gilt auch $\begin{eqnarray*} f \setminus g \subseteq f \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |f \setminus g| \leq |f| \end{eqnarray*}$ .

Ersteres ist richtig, da das grundsätzlich für eine solche Mengendifferenz der Fall ist. Die Begründung über die Mächtigkeit im Nebensatz ist Humbug.

21.11.2023, 12:52

AnnaSab

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Tut mir leid. Das mit der Mächtigkeit war nicht ganz durchdacht. Es gilt ja selbst $\begin{eqnarray*} |\mathbb{N} |= |\mathbb{Z}| \end{eqnarray*}$ , was eigentlich auch sehr verwirrend ist, also für mich.

Hmm, könntest du mir einen Tipp geben, wie ich so einen Beweis anfangen kann ? Müsste ich vielleicht eine Fallunterscheidung machen ?

21.11.2023, 13:22

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Man braucht keine Fallunterscheidung, um zu zeigen, dass
1. $\begin{eqnarray*} f\setminus g \subset A\times B \end{eqnarray*}$ und
2. rechtseindeutig ist.
Wegen $\begin{eqnarray*} f\setminus g \subset f \end{eqnarray*}$ ist 1. gleich erledigt
Für 2. nimmt man $\begin{eqnarray*} (a,b),(a,c) \in f\setminus g \end{eqnarray*}$ und begründet mit den Eigenschaften von f, dass b=c ist.

21.11.2023, 13:34

AnnaSab

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Ich dachte, man müsste eine Fallunterscheidung machen, weil wenn f = g ist, fliegen dann sogesehen alle Elemente raus und man hat sogesehen keine Elemente mehr.

Ah und bei 2. begründet dann mit der Rechtseindeutigkeit von f, dass b = c ist. verwirrt