Isomorphismus von (Sn,?) nach (Bij(X),?)

22.11.2023, 20:51	soalraff	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus von (Sn,?) nach (Bij(X),?) Meine Frage: Hallo, Ich war die letzten Wochen leider krank und hab deswegen von dem neuen Thema wenig mitbekommen und habe Probleme dabei meine Hausaufgabe zu lösen: Sei (Bij(X),?) die Gruppe der bijektiven Abbildungen auf einer Menge X mit der Mächtigkeit n, zusammen mit der Komposition von Abbildungen, und sei(Sn,?) die symmetrische Gruppe auf n Elementen. Beweisen Sie, dass es einen Isomorphismus von (S,?) nach (Bij(X),?) gibt. Meine Ideen: Wie gesagt war ich leider krank und hab deswegen gar kein Plan wie man das lösen sollte bzw. kann
22.11.2023, 22:09	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss eine Bijektion $\begin{eqnarray} \varepsilon\colon\{0,\ldots,n-1\}\to X, \end{eqnarray}$ die ich Enumeration oder Aufzählung nennen will, existieren, da die beiden Mengen gleichmächtig sind. Eine Übersetzung $\begin{eqnarray} \varphi\colon S_n\to\mathrm{Bij}(X) \end{eqnarray}$ wird folgendermaßen konstruiert. Zu einer Permutation $\begin{eqnarray} \pi\in S_n \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} \varphi(\pi)(x)\in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ gelten. Man muss erst von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \{0,\ldots,n-1\} \end{eqnarray}$ gelangen, woraufhin $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ angewendet werden kann. Anschließend muss man zurück zu $\begin{eqnarray} X. \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich die Festlegung $\begin{eqnarray} \varphi(\pi)(x) := \varepsilon(\pi(\varepsilon^{-1}(x))), \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \varphi(\pi) := \varepsilon\circ\pi\circ\varepsilon^{-1}. \end{eqnarray}$ Sicher ist $\begin{eqnarray} \varphi(\pi) \end{eqnarray}$ eine Permutation, da es sich um eine Komposition bijektiver Abbildungen handelt und die Bijektionen auf $\begin{eqnarray} \{0,\ldots,n-1\} \end{eqnarray}$ die Permutationen sind. Es verbleibt zu prüfen, ob $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ selbst bijektiv und ein Isomorphismus zwischen den Gruppen ist.
22.11.2023, 23:29	soalraff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank auf jeden Fall. Das heißt dann ich muss nur noch die Bijektivität von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ zeigen. Passt das dann wenn ich sage für die Injektivität, dass das gilt, wenn $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \pi_1 \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \pi_2 \end{eqnarray}$ ) und daraus folgt $\begin{eqnarray} \pi_1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \pi_2 \end{eqnarray}$ . Also hat man dann $\begin{eqnarray} \epsilon(\pi_1(\epsilon^{-1}(x))) \end{eqnarray}$ für alle x aus X. Durch Anwenden von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon^{-1} \end{eqnarray}$ kommt man dann auf $\begin{eqnarray} \pi_1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \pi_2 \end{eqnarray}$ . Und für die Surjektivität passt das wenn ich für eine beliebige bijektive Abbildung in Bij(x) $\begin{eqnarray} \pi=\epsilon^{-1} \circ f \circ \epsilon \end{eqnarray}$ setze. Dann habe ich: $\begin{eqnarray} \phi(\pi)(x) = \epsilon(\pi(\epsilon^{-1}(x))) = \epsilon(\epsilon^{-1}(f(\epsilon1{-1}(x))) = f(\epsilon^{-1}(x)) \end{eqnarray}$ Passt das für den restlichen Beweis? Bei Funktionen fand ich das mit der Bijektivität deutlich leichter, bei Isomorphismen und so tue ich mich da deutlich schwerer. Und eine Frage hätte ich noch. Ich hab oft extrem Probleme damit einen Ansatz für einen Beweis zu finden, gibt es da eine bestimmte Faustregel oder so die man sich da merken kann, wo sich einige Beweise vielleicht ähneln oder kommst du einfach mit ein bisschen Kreativität auf diese Ansätze? Auf jeden Fall vielen Dank schonmal für deine Hilfe, das weiß ich sehr zu schätzen
23.11.2023, 01:20	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Beweis der Surjektivität hat sich ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen, da kommt eigentlich $\begin{eqnarray} \varphi(\pi)(x)=f(x) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \varphi(\pi)=f \end{eqnarray}$ raus. Die Verträglichkeit $\begin{eqnarray} \varphi(\pi_1)\circ\varphi(\pi_2) = \varphi(\pi_1\circ\pi_2) \end{eqnarray}$ verbleibt außerdem noch zu bestätigen. Bei leichteren Problemen ergibt sich der Beweisansatz oftmals aus der spezifischen Problemstellung. Hier war es beispielsweise die Verfügbarkeit der Aufzählung, und was sich mit dieser anstellen lässt. Die muss einem nicht einmal unbedingt einfallen, sondern wird gebraucht, sobald man sich Gedanken über die Konstruktion des Isomorphismus' gemacht hat. Eigentlich ist da noch nicht sonderlich viel Kreativität erforderlich, mehr ein Verständnis der mathematischen Maschinerie. Es gibt ganze Bücher, die sich mit Problemlösung beschäftigen. Zum Beispiel Mathematisches Problemlösen und Beweisen von Grieser oder der Klassiker How to Solve It von Polya, die Übersetzung trägt den Titel Schule des Denkens.

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