Tangente an Ellipse

22.11.2023, 23:06

voessli

Tangente an Ellipse

Die Orthogonale einer Tangente an einer Ellipse teilt den Winkel zu den Brennpunkten (vom Tangentialpunkt) in 2 gleiche Winkel ^^
Als Lösung bitte nur eine möglichst konzise schriftliche Auslassung

PS: auch ChatGPT schafft es nicht ohne Zirkelschluß
Hinweiß: Die Diagonalen in einem Parallelogramm sind immer Winkelhalbierende

23.11.2023, 08:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von voessli
Die Diagonalen in einem Parallelogramm sind immer Winkelhalbierende

Von welchen Winkeln? Jedenfalls nicht der Parallelogramm-Innenwinkel - das gilt nur für den Spezialfall Rhombus (Raute).

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Skizze eines möglichen Beweises:

Es reicht aus, die Standardellipse $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq b>0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Differenziert ergibt sich $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a^2}\dd x + \frac{y}{b^2}\dd y = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\left(\frac{x}{a^2}, \frac{y}{b^2}\right) \end{eqnarray*}$ ist ein (nach außen gerichteter) Normalenvektor der Tangente im Kurvenpunkt $\begin{eqnarray*} P=(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Die Brennpunkte der Ellipse sind $\begin{eqnarray*} B_1=(e,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2=(-e,0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e=\sqrt{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$ . Es ist nun nachzuweisen

$\begin{eqnarray*} \left| \angle \left( \overrightarrow{B_1P},\vec{n}\right) \right| = \left| \angle \left( \overrightarrow{B_2P},\vec{n} \right) \right| \end{eqnarray*}$ ,

wobei diese beiden Winkel (bzw. zunächst deren Kosinuswerte) beispielsweise via Skalarprodukt bestimmbar sind.

23.11.2023, 19:36

voessli

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Ok zugegeben, der Hinweis zum Parallelogramm kam tatsächlich vom ChatBot und, ich war erstaunt, aber habs einfach geglaubt. nya Betriebsblindheit

Der Normalvektor zur Tangente ist insoweit interessant, als dass T als Spiegel für die Brennpunkte genommen werden kann. Skalare und Trigonometrie sind sind gar nicht notwendig.
Ferner ist eine direkte Verbindung zwischen 2 Punkten laut Euklid die kürzeste Strecke -- z.B. die Extrempunkte der Ellipse

Die Auflösung werde ich morgen posten

23.11.2023, 19:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von voessli
Ok zugegeben, der Hinweis zum Parallelogramm kam tatsächlich vom ChatBot

Ich hab ChatGPT mal probehalber eine mathematische Frage (aus der Zahlentheorie) gestellt, und die Antwort war derart falsch zusammengerührter Mist, dass ich es geradezu fahrlässig halte, sich auf dessen Antworten ungeprüft zu verlassen - das leistet höchstens der zunehmenden Verblödung Vorschub.

06.01.2024, 19:28

voessli

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Infinitesimal bewegen sich beide Stränge jeweils parallel (bei einer Ortsänderung Delta). Da deren Längenzuwachs bzw. Abnahme gleich groß ist, kann die Bewegungsrichtung nur orthogonal zur ihren Winkelhalbierenden sein - d.h. diese ist die Reflexionslinie oder Spiegelgerade bzw. Tangente

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