Unleserlich! Lineare Algebra I Beweis

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Captainmulti Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra I Beweis
Meine Frage:
Eine Teilmenge C?V eines K-Vektorraums V heißt minimal linear abh¨ angig, falls C linear abh¨angig ist und C\{v} linear unabh¨angig ist f¨ur alle v?C .Zeigen Sie: F¨ ur zwei minimal linear abh¨angige Mengen C,C? gilt: Ist C?C?,so ist schon C=C?.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass per Definition gilt, dass ich C?? C mit v ? C? zeigen soll. Aber weiter bin ich nicht gekommen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht leicht zu verstehen, was du willst. Wenn ich nicht irre, dann ist nur C={x,ax} mit a und x ungleich 0 minimal linear abhängig. Denn {x,ax,bx} bleibt l.a. wenn ich einen der 3 Vektoren entferne. Ebenso bleibt {x,ax,y} l.a., wenn x,y l.u. und y entfernt wird.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: Ich denke es geht allgemeiner: Wenn eine Basis ist, dann können wir definieren mit für alle .

Wenn wir nun betrachten, dann ist es minimal linear abhängig:

Offenbar ist linear unabhängig, und wenn einen anderen Vektor rausnehmen, so können wir diesen mithilfe von und den verbleibenden darstellen:
, wobei die erste Summe gerade geeignet skaliert ist.

@Captainmulti: Angenommen ist echt größer. Dann existiert . Was kann man über dann sagen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Es ist mir kurz nach meinem Beitrag auch selbst aufgefallen, dass ich mich geirrt habe. Als weiteres Beispiel kamen mir sofort drei paarweise l.u. Vektoren in der Ebene in den Sinn. Genau das hast du ganz richtig verallgemeinert.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Man braucht auch nicht zu fordern, dass eine Basis ist. Nicht-leer und linear unabhängig reicht vollkommen.

Umgekehrt sei minimal linear abhängig. Dann ist jedes Linearkombination der verbleibenden Elemente in : Falls nicht, dann ist nach der minimalen linearen Abhängigkeit von linear unabhängig und da linear unabhängig zu ist, wäre auch linear unabhängig. Widerspruch.

D.h. alle minimal abhängigen Mengen kann man wie oben konstruieren.
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