Inverse der Matrixnorm

25.11.2023, 14:30	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse der Matrixnorm Hallo liebes Matheboard Sei A eine reguläre Matrix und sei $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|A-\tilde{A}\|\|<\|\|A^{-1}\|\|^{-1} \end{eqnarray}$ Nun ist erstmal zu zeigen, dass dann $\begin{eqnarray} \|\|A^{-1}\|\|=\frac{1}{min_{\|\|x\|\|=1}\|\|Ax\|\|} \end{eqnarray}$ ist. Ich hab es mit Termumformung versucht, komme aber nur auf $\begin{eqnarray} \|\|A^{-1}\|\| < \frac{1}{max_{\|\|x\|\|=1}\|\|Ax-\tilde{A}x\|\|} \end{eqnarray}$ Wieso die Gleichheit gilt ist mir immer noch unklar... Freu mich über Tipps Gruß, eure HiBee
26.11.2023, 09:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse der Matrixnorm Ich würde es mit $\begin{eqnarray} \frac{\\|A^{-1}y\\|}{\\|y\\|} = \frac{\\|A^{-1}Ax\\|}{\\|Ax\\|} = \frac{1}{\frac{\\|Ax\\|}{\\|x\\|}} \end{eqnarray}$ versuchen.
26.11.2023, 17:00	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse der Matrixnorm Ach prima, jetzt funktioniert es. Danke Dann sollen wir noch zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray} M\in \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray}$ mit \|\|M\|\|<1 für eine beliebige induzierte Matrixnorm gilt $\begin{eqnarray} (I_n-M)^{-1}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} M^k \end{eqnarray}$ Da weiß ich mir momentan keinen Rat... Vielleicht mit Induktion?
26.11.2023, 18:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse der Matrixnorm Du kannst einfach nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} (I_n-M)\sum M^k = I_n \end{eqnarray}$ ist. Wenn du es herleiten willst, geht es wie bei der geometrischen Reihe: $\begin{eqnarray} S:=\sum M^K \end{eqnarray}$ und dann die Differenz $\begin{eqnarray} S-MS \end{eqnarray}$ betrachten.
28.11.2023, 11:42	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse der Matrixnorm Ah ja okay, Also wenn ich habe, dass die Reihe konvergiert, Dann hab ich gleich schon den Grenzwert... aber wie zeige ich, dass die Reihe konvergiert? Unser Tutor hat gemeint, man soll mit Cauchyfolgen argumentieren. Aber da komm ich nicht so recht weiter... Ich komme auf: $\begin{eqnarray} \|\|\sum\limits_{i=0}^{k} M^i - \sum\limits_{i=0}^{l} M^i\|\|<br /> =\|\|\sum\limits_{i=l}^{k} M^i\|\| \end{eqnarray}$ Aber wieso erfüllt das die Cauchyfolgenbedingung?
28.11.2023, 11:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse der Matrixnorm Dreiecksungleichung und geometrische Reihe helfen weiter
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28.11.2023, 14:53	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse der Matrixnorm Gut Dann mach ich's einfach wie im Beweis der Konvergenz der geometrischen Reihe Dankeschön!

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