Schräge Asymptote

25.11.2023, 19:17	verwirrt42	Auf diesen Beitrag antworten »
Schräge Asymptote ich habe folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2-3x}{8x+7} \end{eqnarray}$ und möchte die schräge Asymptote bestimmen. Dazu bestimme ich den $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{x^2-3x}{8x+7} = \lim_{x \to \infty } \frac{x(x-3)}{x(8+\frac{7}{x})} = \lim_{x \to \infty } \frac{x-3}{8+\frac{7}{x}} = \frac{x-3}{8} = \frac{1}{8}x-\frac{3}{8} \end{eqnarray}$ Das heisst $\begin{eqnarray} y= \frac{1}{8}x-\frac{3}{8} \end{eqnarray}$ ist die schräge Asymptote. Ist das so ok?
25.11.2023, 19:26	verwirrt42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräge Asymptote weil wenn ich das mit einer Polynomdivision mache dann kommt was anderes heraus: $\begin{eqnarray} (x^2-3x) : (8x+7) = \frac{1}{8}x-\frac{31}{64} +\frac{\frac{217}{64} }{8x+7} \end{eqnarray}$ Hier ist die schräge Asymptote $\begin{eqnarray} y= \frac{1}{8}x-\frac{31}{64} \end{eqnarray}$ Und das ist ja nicht das Gleiche
25.11.2023, 19:42	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräge Asymptote Das Ergebnis der Polynomdivision ist richtig. In der ersten Rechnung hast Du nur unzulässig bei der Grenzwertbildung die beiden $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ willkürlich unterschiedlich behandelt. Insbesondere ist dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pm \infty } \begin{vmatrix} \frac{x^2-3x}{8x+7}-\left(\frac{1}{8}x-\frac{3}{8}\right) \end{vmatrix} \neq 0 \end{eqnarray}$
25.11.2023, 19:47	verwirrt42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräge Asymptote Erstmal danke für die schnelle Antwort! Aber die verstehe ich nicht ganz. Kannst du das etwas genauer erklären, wo genau ich den Fehler mache.
25.11.2023, 20:10	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräge Asymptote Wenn Du den Grenzwert über $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{x-3}{8+\frac{7}{x}}=~... \end{eqnarray}$ berechnen willst, darfst Du " $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray}$ " erst dann weglassen, wenn anschließend der tatsächliche Grenzwert - also " $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ " - folgt. In diesem Moment sind aber alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gemeinsam ins Unendliche gelaufen, während Du noch eins übrigbehalten hast. Polynomdivision liefert eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und die Asymptote ist der ganzrationale Anteil, da der echt gebrochene Anteil im Unendlichen gegen 0 geht. Bei der ersten Rechnung hast Du stattdessen eine andere Funktion erhalten, an die sich $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ nicht beliebig annähert, wenn $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ über alle Grenzen wächst.
25.11.2023, 20:14	verwirrt42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräge Asymptote Daaaaaaankeeeeee!
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