Matrizen

26.11.2023, 02:14

moltz

Matrizen

Meine Frage:
Ich soll alle reelle 2 X 2 Matrizen bestimmen, wobei die Eigenschaft A^2 = E2 gilt (E2 ist die 2 X 2 Einheitsmatrix).
Ich hab da jetzt Beispiele gefunden, aber da steht ja wirklich alle. Was heisst das jetzt genau?

Meine Ideen:
.

26.11.2023, 07:57

SC/MP

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Karo zwo
Aus dem Gedächtnis

Eine Einheitsmatrix mit zwei Spalten und zwei Reihen entsteht, als Korrekturmatrix, wenn Gleichungen umgeformt werden. Sie dienen der schnellen, weil vereinfacht anzuwendenden Umrechnung von Koordinaten oder Zielkoordinaten im zweidimensionalen Raum.

Es gilt also, dass keine Zahlenmengen oberhalb von reellen Zahlen in den Einträgen haben.

Klingt plausibel, muss aber nicht wahr sein. Das habe ich vor ungefähr drei Jahrzehnten mir grob so gemerkt.

Korrektur: Text präzisiert.

26.11.2023, 09:13

tcman

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RE: Karo zwo
Muss ich dann aber hier Beispiele finden, welche das erfüllen. Ich hab jetzt 7 Beispiele gefunden, aber dasteht ja, ich solle alle bestimmen. Daher bin ich verwirrt.

26.11.2023, 09:55

Helferlein

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Wenn Du alle finden sollst reichen Beispiele nicht aus.
Es geht ja eigentlich auch nur um das Lösen eines (nicht linearen) GLS mit 4 Unbekannten.
Schreibe A in allgemeiner Form und berechne ihr Quadrat. Daraus gewinnst Du das GLS, das es zu lösen gilt.

26.11.2023, 10:05

URL

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Statt des ganz allgemeinen Ansatzes für $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das GLS mit vier Unbekannten kann man auch $\begin{eqnarray*} \det(A)^2=1, A=A^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^{-1}= \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nutzen.

27.11.2023, 00:20

tcman

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frage
Ich hab jetzt hier das LGS aufgestellt

I. a^2 + bc = 1
II. bd + d^2 = 0
III. ab + bd = 0
IV. ac + cd = 1

Ich habe da jetzt nur am Ende die Identität Matrix herausbekommen mit (1,0) & (0,1) als Spalten und diese noch mit -1.
Aber irgendwie schaffe ich es nicht so ein System zu lösen. Ich würde mich nochmal über ein Tipp freuen.

27.11.2023, 08:26

HAL 9000

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Gleichung II muss richtigerweise $\begin{eqnarray*} b{\color{red}c}+d^2={\color{red}1} \end{eqnarray*}$ lauten, sowie IV $\begin{eqnarray*} ac+cd={\color{red}0} \end{eqnarray*}$

Betrachte die Gleichungen III bzw. IV in einer Fallunterscheidung gemäß Nullproduktsatz.

27.11.2023, 10:10

tcman

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Frage
Also ich hab jetzt die zwei Fälle gemacht.
III: ab + bd = 0
=> b (a + d) = 0

Fall 1: a + d ≠ 0:
=> b = 0, c = 0, a = 1 oder -1, b = 1 oder -1

Fall 2: a + d = 0 => a = -d
Wie machw ich jetzt Fall 2?

27.11.2023, 11:18

tcman

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komm.
Fall 1: a + d ≠ 0 (Ungeleich 0), soll da stehen

27.11.2023, 11:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von tcman (korrigiert)
Fall 1: a + d ungleich 0:
=> b = 0, c = 0, a = 1 oder -1, d = 1 oder -1

Arbeite bitte mal ein bisschen gründlicher: Deine ständigen Buchstabenverwechslungen sind hier fatal. unglücklich

Übrigens lautet die Folgerung in diesem Fall hier eher $\begin{eqnarray*} a=d=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=d=-1 \end{eqnarray*}$ :

Denn die anderen beiden Kombinationen $\begin{eqnarray*} a=1,d=-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=-1,d=1 \end{eqnarray*}$ verletzen die Fallbedingung $\begin{eqnarray*} a+d\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

-------------------------------------------

In Fall 2 $\begin{eqnarray*} a+d=0 \end{eqnarray*}$ sind die Gleichungen III und IV unmittelbar erfüllt. Außerdem bedeutet dies $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$ und Gleichung II fällt dann auch mit Gleichung I $\begin{eqnarray*} a^2+bc=1 \end{eqnarray*}$ zusammen, d.h., es muss nur noch die für die drei Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Und das geht beispielsweise so: Für jedes reelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ wählen wir $\begin{eqnarray*} c=\frac{1-a^2}{b} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man sich noch fragen, was im Fall $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ passiert: Das geht dann offenbar nur unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} |a|=1 \end{eqnarray*}$ , in diesem Fall kann man dann $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig wählen.

Wenn du alles obige zusammmenträgst, kommt man auf folgende Lösungsmatrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0\\ c & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 0\\ c & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit frei wählbaren $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b\\ \frac{1-a^2}{b} & -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit frei wählbaren $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

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