Zyklische Gruppe?

26.11.2023, 14:41

KonverDiv

Zyklische Gruppe?

Hallo

Sei $\begin{eqnarray*} G=(\mathbb{Z},*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, wobei $\begin{eqnarray*} a*b = a+b-1 \end{eqnarray*}$ . Ist diese Gruppe zyklisch?

Wenn ich zeigen wollte, ob $\begin{eqnarray*} G=(\mathbb{Z},*) \end{eqnarray*}$ zyklisch ist mit der oben angegebenen Verknüpfung, müsste ich ein Element $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ aus der Gruppe finden, welches zur Potenz erhoben die ganze Gruppe erzeugt, also $\begin{eqnarray*} G = \left\{ x^n | n \in \mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$ . Aber wie stellt man das hier genau an?

26.11.2023, 15:31

Elvis

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Wäre x ein erzeugendes Element, so wäre $\begin{eqnarray*} x^n*x^m=x^{n+m}-1=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x^{n+m} =2,x=\pm 2 \end{eqnarray*}$ . 2 erzeugt nur positive Zahlen, -2 auch nicht alle ganzen Zahlen. Also nicht zyklisch.
Nachtrag. -2 muss man vermutlich gar nicht betrachten.

26.11.2023, 15:39

KonverDiv

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Hallo Elvis und danke für deine Antwort! Freude

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x^{n+m}-1=1 \end{eqnarray*}$ ? Du setzt nach Definition von * ein, aber warum ist dies = 1 ? Hängt das mit der Ordnung zusammen, oder versuchst du darüber zu argumentieren, dass 1 immer ein Generator ist?

26.11.2023, 15:50

Elvis

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1 muss erzeugt werden, also gibt es n und m mit x^n*x^m=1.
Ist -2 ein erzeugendes Element?

26.11.2023, 15:55

IfindU

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@Elvis: Ist nicht per Definition $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element? In diesem Fall ist es die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . D.h. es ist das eine Element, um das man sich keine Sorgen machen muss.

Alternativ: Man kann leicht nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} a^n = n a - n + 1 = n(a-1) + 1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a^{-n} =1 - n(a-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > 0 \end{eqnarray*}$ . Zusammengefasst also $\begin{eqnarray*} a^z = 1 + |z| (a-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Hier sieht man nun klar, dass für $\begin{eqnarray*} a > 1 \end{eqnarray*}$ nur positive Zahlen erwischt werden können, für $\begin{eqnarray*} a < 1 \end{eqnarray*}$ nur Werte kleiner-gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Edit: Irgendwo hat sich Fehler eingeschlichen... Inverse sind ja sicherlich negativ. Werde es gleich überarbeiten.

Korrektur:
Alternativ: Man kann leicht nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} a^n = n a - n + 1 = n(a-1) + 1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a^{-n} =1 - n(a-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > 0 \end{eqnarray*}$ . Zusammengefasst also $\begin{eqnarray*} a^z = 1 + z (a-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich also $\begin{eqnarray*} 2^z = 1 +z \end{eqnarray*}$ , was sicherlich alles trifft.

Edit 2: Das ist ja die kanonische additive Gruppe, um eins verschoben. $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, + ) \to (\mathbb Z, *), a \mapsto a+1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a*b = a + b - 1 = (a - 1) + (b -1) + 1 \end{eqnarray*}$ .

26.11.2023, 16:56

Elvis

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Entschuldigung, ich habe wieder Mist gebaut. Ich habe die Potenzen in dieser Gruppe mit den Potenzen in ganzen Zahlen verwechselt.

26.11.2023, 16:57

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Ist -2 ein erzeugendes Element?

Dann müsste doch jede Potenz von $\begin{eqnarray*} (-2) \end{eqnarray*}$ die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugen, denn $\begin{eqnarray*} G = \left\{ x^n | n \in \mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$ , oder? Für die Verknüpfung hieße das etwa, dass folgendes gelten müsste/sollte $\begin{eqnarray*} (-2)^n * (-2)^m = (-2)^{m+n} -1 = 1 \end{eqnarray*}$ , oder?

26.11.2023, 17:01

Elvis

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IfindU hat recht, 2 ist der Erzeuger der abelschen Gruppe, und 1 ist das neutrale Element.

26.11.2023, 19:15

IfindU

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Zitat:

Original von Elvis
IfindU hat recht, 2 ist der Erzeuger der abelschen Gruppe, und 1 ist das neutrale Element.

Um genau zu sein: es ist ein Erzeuger. So wie $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0\pm 1 = \pm 1 \end{eqnarray*}$ erzeugt wird,wird $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, *) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1 \pm 1 \end{eqnarray*}$ erzeugt, was gerade $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist.

Für die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0^1 = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0^2 = -1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0^3 = -2 \end{eqnarray*}$ usw. Und mit negativen Exponenten geht es dann in Richtung der positiven Zahlen. Nutzt man die Formel aus meinem letzten Post bekommt man auch sofort $\begin{eqnarray*} 0^z = 1 - z \end{eqnarray*}$ .

26.11.2023, 20:28

HAL 9000

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Die Erkenntnisse von IfindU so zusammengefasst: Mit der bijektiven Funktion

$\begin{eqnarray*} T:~\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(x)=x+1 \end{eqnarray*}$

gilt $\begin{eqnarray*} T(a+b) = T(a)*T(b) \end{eqnarray*}$ , d.h., es liegt ein Isormophismus von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},*) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ vor. Da letzteres eine zyklische Gruppe ist, trifft dies auch auf ersteres zu, mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} T(0)=1 \end{eqnarray*}$ und möglichem Erzeuger $\begin{eqnarray*} T(1)=2 \end{eqnarray*}$ oder alternativ auch $\begin{eqnarray*} T(-1)=0 \end{eqnarray*}$ .

27.11.2023, 08:56

KonverDiv

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Hallo @IfindU hast du das $\begin{eqnarray*} a^n = n a - n + 1 = n(a-1) + 1 \end{eqnarray*}$ sofort erkannt verwirrt

oder dir über ein paar Beispiele so erdacht, weil ich sehe das auf Anhieb nur durch ein paar Fallbeispiele n=3,4,... ? Aber der Ansatz in deinem ersten Edit scheint glaube ich der elementarste zu sein. Freude

Hallo @HAL und @Elvis, auch ein großes Danke an euch! Die Sichtweise mit der Abbildung und dem Isomorphismus finde ich auch elegant. Das "Aber" was ich gerne äußern möchte ist, dass ich das doch auf eine viel grundlegendere Art zeigen müsste, denn der Begriff Isomorphismus, wenn auch mir bekannt, wurde an der Stelle noch nicht eingeführt smile

27.11.2023, 10:06

IfindU

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Ich wollte verstehen wie $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ aussieht und hab ein paar Beispiele gerechnet. Und dann die Formel geraten/gesehen. Bei $\begin{eqnarray*} a^{n+1} = a^n * a = a^n + a - 1 \end{eqnarray*}$ sieht man dass man immer um ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ erhöht und um 1 erniedrigt. Mehr sagt die Formel auch nicht aus.

27.11.2023, 10:11

KonverDiv

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Ah ok, ich verstehe! Danke nochmal! Freude

27.11.2023, 10:59

Elvis

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Ich glaube nicht, dass es ein allgemeines Prinzip geben kann, aus dem auf den Typ der Gruppe schließen kann. In $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ gibt es nur zyklische Untergruppen. Also ist jede Gruppe, die isomorph zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ ist, auch zyklisch. Andererseits kann man eine beliebige Teilmenge der ganzen Zahlen nehmen und eine frei gewählte Gruppenstruktur darauf definieren. Beispielsweise ist die symmetrische Gruppe der Permutationen von $\begin{eqnarray*} \{a, b, c\} \end{eqnarray*}$ nicht abelsch, also schon gar nicht zyklisch, und ihre Elemente kann man 1,2,3,4,5,6 nennen.

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