Lokale Extremstellen einer Funktion dritten Grades

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lucia3304 Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Extremstellen einer Funktion dritten Grades
Meine Frage:
Für eine Polynomfunktion f dritten Grades mit f(x)=ax^3 + cx + d bestimmen die Parameter a,c,d (mit a ist nicht 0) die charakteristischen Eigenschaften von f(x). Wie viele lokale Extremstellen besitzt f, wenn gilt: a>0, c<0. Begründe die Antwort rechnerisch.

Meine Ideen:
Also meine Idee wäre dass man es ableitet und 0 setzt, dann wäre es 3x^2*a+c=0, aber hier komm ich nicht mehr weiter, wie soll ich den ohne Zahlen einzusetzen die Anzahl der Extremstellen bestimmen können? Könnte mir jemand bitte helfen?
analyser Auf diesen Beitrag antworten »

Löse die Gleichung nach x² auf (nach x ist nicht zwingend erforderlich) und überlege dir, ob für a>0 und c<0 auf der rechten Seite positive oder negative Zahlen entstehen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie viele lokale Extremstellen besitzt eine Funktion dritten Grades, wenn gilt a>0, c<0??
Selbst das von analyser empfohlene Auflösen wäre nicht mal nötig.
Überlege, wie man

grob graphisch skizzieren könnte für a>0, c<0.
hat dort lokale Extremstellen, wo Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat.
Zugegeben kommt bei dieser Idee bis auf Bildung der Ableitung der rechnerische Teil der Begründung etwas kurz.
lucia3304 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bekomme x^2=-c/3a, weil c ja per Angabe immer negativ ist, und a immer positiv, wäre ja der ganze Term immer positiv. Nun wenn ich die Wurzel ziehe bekomm ich ja immer 2 Lösungen, heißt dass das es 2 Extremstellen gibt? Oder lieg ich grad einfach komplett falsch?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie viele lokale Extremstellen besitzt eine Funktion dritten Grades, wenn gilt a>0, c<0??
Freude
Alles richtig.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei die hinreichende Bedingung noch nachzuweisen wäre.
 
 
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