Funktion mit genau 1 Nullstelle

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leniii5678 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit genau 1 Nullstelle
Meine Frage:
Die Polynomfunktion f(x)= x^3-3x^2 + a besitzt für a=1 genau 3 Nullstellen. Argumentiere und überlege mit dem Graphen, welche Werte für das konstante Glied a annehmen kann, sodass die Funktion nur 1 Nullstelle besitzt.

Meine Ideen:
Also eigentlich erstmal verstehe ich nicht, wieso diese Funktion überhaupt 3 Extremstellen haben soll, weil wenn man diese ableitet und 0 setzt, also 3x^2-6x=0, kommen zwei Lösungen, also 0 und 2, raus. Andererseits hätte ich gedacht, dass man etwas mit dem Ableiten und dem a in Kombination machen muss, aber eben die Konstante a fällt ja beim Ableiten weg. Wäre überaus dankbar, wenn mir jemand helfen könnte smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von leniii5678
Also eigentlich erstmal verstehe ich nicht, wieso diese Funktion überhaupt 3 Extremstellen haben soll

Das sagt ja auch keiner: Es ist von drei Nullstellen der Funktion die Rede, nicht von drei Nullstellen der Ableitung - genau lesen!!!

--------------------------------------------

Betrachte einfach mal die beiden lokalen Extrema bei (wie du schon ausgerechnet hast) sowie :

Wenn der lokale Maximumpunkt unterhalb der -Achse liegt, gibt es nur eine Nullstelle der Funktion .

Genauso sieht es aus, wenn der lokale Minimumpunkt oberhalb der -Achse liegt.
leniii5678 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay soweit ich es verstanden habe, hab ich nun durch einsetzen des jeweiligen x-Wert das herausbekommen: 2^3-3*2^2+1=-3 und 0^3-3*0^2+1=1

Ich darf damit 2^3-3*2^2+a über der x-Achse bleibt für a = [0;4] nicht einsetzen und keine negativen Werte nicht einsetzen

Damit 0^3-3*0^2+a negativ bleibt darf ich für a keine positiven Werte und keine 0 einsetzen.

Wie genau definiere ich nun a?
leniii5678 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es richtig wenn ich sage, dass man für a nur reelle negative Zahlen ohne Null einsetzen darf, wenn ich davon ausgehe, dass der lokale Maximumpunkt unter der x-Achse ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stelle mal drei Schaubilder ein: Für , sowie :





Vielleicht verstehst du dann meine Anmerkung

Zitat:
Original von HAL 9000
Wenn der lokale Maximumpunkt unterhalb der -Achse liegt, gibt es nur eine Nullstelle der Funktion .

Genauso sieht es aus, wenn der lokale Minimumpunkt oberhalb der -Achse liegt.
leniii5678 Auf diesen Beitrag antworten »

Okayyyyy, also a ist ein Teil der Reellen Zahl aber ohne 0,1,3,4 und 5. Stimmt das jz?
 
 
leniii5678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups sry vergessen Sie meine andere Nachricht, ich meine a ist ein Teil der Reelle Zahlen ohne 0,1,2,3 und 4.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Viel zu kurz gedacht. unglücklich

Die erste Bedingung "Lokales Maximum bei liegt unter x-Achse" bedeutet , was wegen dann bedeutet. Die zweite Bedingung "Lokales Minimum bei liegt über x-Achse" heißt entsprechend , was mit dann bzw. umgeformt bedeutet.

D.h. zusammengefasst bekommen wir die -Parametermenge , wo die Funktion nur eine Nullstelle hat,

Ist zwar nicht gefragt, aber ergänzend dazu bedeutet das genau drei Nullstellen für , während an den Übergangsstellen wir genau zwei Nullstellen bekommen.
leniii5678 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön für die Erklärung!!!
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