Funktion mit genau 1 Nullstelle

26.11.2023, 19:27

leniii5678

Funktion mit genau 1 Nullstelle

Meine Frage:
Die Polynomfunktion f(x)= x^3-3x^2 + a besitzt für a=1 genau 3 Nullstellen. Argumentiere und überlege mit dem Graphen, welche Werte für das konstante Glied a annehmen kann, sodass die Funktion nur 1 Nullstelle besitzt.

Meine Ideen:
Also eigentlich erstmal verstehe ich nicht, wieso diese Funktion überhaupt 3 Extremstellen haben soll, weil wenn man diese ableitet und 0 setzt, also 3x^2-6x=0, kommen zwei Lösungen, also 0 und 2, raus. Andererseits hätte ich gedacht, dass man etwas mit dem Ableiten und dem a in Kombination machen muss, aber eben die Konstante a fällt ja beim Ableiten weg. Wäre überaus dankbar, wenn mir jemand helfen könnte smile

26.11.2023, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von leniii5678
Also eigentlich erstmal verstehe ich nicht, wieso diese Funktion überhaupt 3 Extremstellen haben soll

Das sagt ja auch keiner: Es ist von drei Nullstellen der Funktion die Rede, nicht von drei Nullstellen der Ableitung - genau lesen!!!

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Betrachte einfach mal die beiden lokalen Extrema bei (wie du schon ausgerechnet hast) $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ :

Wenn der lokale Maximumpunkt $\begin{eqnarray*} \left(0,f(0)\right) \end{eqnarray*}$ unterhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegt, gibt es nur eine Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Genauso sieht es aus, wenn der lokale Minimumpunkt $\begin{eqnarray*} \left(2,f(2)\right) \end{eqnarray*}$ oberhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegt.

26.11.2023, 21:40

leniii5678

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Okay soweit ich es verstanden habe, hab ich nun durch einsetzen des jeweiligen x-Wert das herausbekommen: 2^3-3*2^2+1=-3 und 0^3-3*0^2+1=1

Ich darf damit 2^3-3*2^2+a über der x-Achse bleibt für a = [0;4] nicht einsetzen und keine negativen Werte nicht einsetzen

Damit 0^3-3*0^2+a negativ bleibt darf ich für a keine positiven Werte und keine 0 einsetzen.

Wie genau definiere ich nun a?

26.11.2023, 21:58

leniii5678

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Wäre es richtig wenn ich sage, dass man für a nur reelle negative Zahlen ohne Null einsetzen darf, wenn ich davon ausgehe, dass der lokale Maximumpunkt unter der x-Achse ist.

26.11.2023, 21:59

HAL 9000

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Ich stelle mal drei Schaubilder ein: Für $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ :

Vielleicht verstehst du dann meine Anmerkung

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn der lokale Maximumpunkt $\begin{eqnarray*} \left(0,f(0)\right) \end{eqnarray*}$ unterhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegt, gibt es nur eine Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Genauso sieht es aus, wenn der lokale Minimumpunkt $\begin{eqnarray*} \left(2,f(2)\right) \end{eqnarray*}$ oberhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegt.

26.11.2023, 22:12

leniii5678

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Okayyyyy, also a ist ein Teil der Reellen Zahl aber ohne 0,1,3,4 und 5. Stimmt das jz?

26.11.2023, 22:15

leniii5678

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Ups sry vergessen Sie meine andere Nachricht, ich meine a ist ein Teil der Reelle Zahlen ohne 0,1,2,3 und 4.

27.11.2023, 07:23

HAL 9000

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Viel zu kurz gedacht. unglücklich

Die erste Bedingung "Lokales Maximum bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ liegt unter x-Achse" bedeutet $\begin{eqnarray*} f(0) < 0 \end{eqnarray*}$ , was wegen $\begin{eqnarray*} f(0)=a \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ bedeutet. Die zweite Bedingung "Lokales Minimum bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ liegt über x-Achse" heißt entsprechend $\begin{eqnarray*} f(2)>0 \end{eqnarray*}$ , was mit $\begin{eqnarray*} f(2)=-4+a \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -4+a>0 \end{eqnarray*}$ bzw. umgeformt $\begin{eqnarray*} a>4 \end{eqnarray*}$ bedeutet.

D.h. zusammengefasst bekommen wir die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Parametermenge $\begin{eqnarray*} (-\infty,0)\cup (4,\infty) \end{eqnarray*}$ , wo die Funktion nur eine Nullstelle hat,

Ist zwar nicht gefragt, aber ergänzend dazu bedeutet das genau drei Nullstellen für $\begin{eqnarray*} a\in (0,4) \end{eqnarray*}$ , während an den Übergangsstellen $\begin{eqnarray*} a\in\{0;4\} \end{eqnarray*}$ wir genau zwei Nullstellen bekommen.

27.11.2023, 08:40

leniii5678

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Dankeschön für die Erklärung!!!

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