Matrixnormenvergleich

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28.11.2023, 18:03	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixnormenvergleich Hallo liebes Matheboard Es gilt zu zeigen, dass für die induzierten Matrixnormen folgende Ungleichung gilt: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2\leq \sqrt{\|\|A\|\|_1\|\|A\|\|_{\infty}} \end{eqnarray}$ Vielleicht hilft es ja, dachte ich, die 2Norm als Wurzel eines Skalarproduktes zu schreiben... ? Außerdem ist bekannt dass Einsnorm und Unendlichnorm äquivalen zur Spalten bzw. Zeilensummennorm sind, aber ich weiß nicht wie das weiterhilft... Wisst ihr Rat? Grüße, eure HiBee
28.11.2023, 18:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Das ist ein Spezialfall der Hölder-Ungleichung. Du kannst schreiben $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2^2 = \sum_{i,j} \|A_{i,j}\|^2 = \sum_{i,j} \|A_{i,j}\|\cdot \|A_{i,j}\| \end{eqnarray}$ . Einen der Faktoren in jedem Summanden kannst du abschätzen gegen die Unendlich-Norm von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Danach bist du praktisch schon fertig. Edit: Ich bin davon ausgegangen es sind die $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Normen gemeint. Wenn Operatornormen genutzt werden, muss man wohl anders vorgehen.
28.11.2023, 18:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Ist $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2 \end{eqnarray}$ nicht die Spektralnorm Edit: Die Frage ob p-Norm oder Operatornorm kann nur HiBee123 klären
02.12.2023, 13:01	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Hallo IfindU Nein nein, es war schon richtig mit den p-Normen, nur hatten wir zuvor bewiesen, dass die 1Norm genau die Spaltensummennorm und die unendlich Norm die Zeilensummennorm ist, ich dachte, dass man das vielleicht für den Beweis brauchen könnte... aber offensichtlich nicht. Lieben Dank HiBee
02.12.2023, 18:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Ich muss zugeben, nachdem mich URL darauf hingewiesen hat, war ich mir sehr sicher er hat Recht und wir beide etwas verwirrt. "Meine" klassische $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ -Norm ist nicht Spaltensummennorm, sondern die Summe über alle Einträge (sogar mit Betrag). Die $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Norm ist der betragsmäßig Größte Eintrag, nicht die Zeilennsummennorm. Sowohl die $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Normen als auch die davon induzierten $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Matrixnormen (auch hier hätte ich stutzig werden sollen) werden leider oft mit $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\|_p \end{eqnarray}$ bezeichnet. Interessanterweise erfüllen auch beide Varianten $\begin{eqnarray} \\|A \\|^2_2 \leq \\|A\\|_1\cdot \\|A\\|_\infty \end{eqnarray}$ .
04.12.2023, 19:08	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Mmmhh... interessant, tatsächlich war aber die Operatornorm gemeint, diejenige, die induziert wird durch die unendlich Norm.. Für die dann auch Gleichheit mit der Zeilensummennorm gilt.
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04.12.2023, 19:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Ich würde es dann so versuchen $\begin{eqnarray} \\| A\\|_2^2 =\sup_{\\|x\\|_2 = 1} \langle Ax, Ax \rangle =\sup_{\\|x\\|_2 = 1} \langle A^T Ax, x \rangle \leq \sup_{\\|x\\|_2 = 1}\\| A^T Ax \\|_1 \cdot \\|x\\|_\infty \leq \sup_{\\|x\\|_2 = 1} \\| A^T Ax \\|_1 \leq \sup_{\\|x\\|_1 = 1} \\| A^T Ax \\|_1 \end{eqnarray}$ . Bei den letzten zwei Ungleichungen habe ich $\begin{eqnarray} \\|x\\|_{L^\infty} \leq \\|x\\|_{L^2} \leq \\|x \\|_{L^1} \end{eqnarray}$ benutzt. Jetzt kann man die Eigenschaften von den Matrixnormen nutzen.
09.12.2023, 13:25	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Irgendwie seh ich's noch nicht. Angefangen bei der Ungleichung in der Mitte. WO kommt aufeinmal die unendlich Norm her? Und welche Matrixeigenschaften soll ich zum Schluss benutzen? Das mit der Spaltensummennorm? oder die Submultiplikativität. Ich steh grad aufm Schlauch.
10.12.2023, 14:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Die Hölder-Ungleichung für das Standardskalarprodukt sagt $\begin{eqnarray} \| \langle a,b \rangle \| \leq \\| a\\|_{L^p}\\|b\\|_{L^q} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac 1 p + \frac 1 q = 1 \end{eqnarray}$ . Den Speziallfall hier für $\begin{eqnarray} p = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q= \infty \end{eqnarray}$ beweist man wie ich im initialen Post im Thread. Ich nenne mal die Matrixnorm nur mit Zahl, und die $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Normen mal $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \\| A\\|_2^2 =\sup_{\\|x\\|_{L^2} = 1} \langle Ax, Ax \rangle =\sup_{\\|x\\|_{L^2} = 1} \langle A^T Ax, x \rangle \leq \sup_{\\|x\\|_{L^2} = 1}\\| A^T Ax \\|_{L^1} \cdot \\|x\\|_{L^\infty} \leq \sup_{\\|x\\|_{L^2} = 1} \\| A^T Ax \\|_{L^1} \leq \sup_{\\|x\\|_{L^1} = 1} \\| A^T Ax \\|_{L^1} = \\| A^T A \\|_1 \leq \\| A^T \\|_1 \\| A \\|_1 = \\| A \\|_\infty \\| A \\|_1 \end{eqnarray}$ . Die letzte Ungleichung ist dabei die Multiplikativität der Matrixnorm und die letzte Gleichheit die Erkenntnis zwischen Spaltensummen- und Zeilensummennorm, und dass das Transponieren der Matrix Zeilen mit Spalten tauscht.
11.12.2023, 18:52	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormenvergleich Ach so prima Dann hab ich das jetzt eeeendlich verstanden. Dankeschön

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