Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen

28.11.2023, 18:52

Patrick1990

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Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen

Hallo,
ich habe hier ein paar Aufgaben, die ich nicht so richtig verstehe.
Gegeben ist das Gleichungssystem Ax=0, A ist eine 3x3 Matrix, 0 ein Vektor im R3.
Bestimme alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und finde alle Matratzen B (3x3), mit AB=O, wobei O die Nullmatrix des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3x3} \end{eqnarray*}$ ist.

Nun dachte ich, dass ich von links mit A multipliziere. Dann komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} x=A^{-1}0 \end{eqnarray*}$ , besteht dann der Vektor x einfach aus den Einträgen 0,0,0?

Edit:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}<br /> 1 & 2 & 3\\<br /> 4 & 5 & 6\\<br /> 1 & 1 & 1\\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2023, 18:56

Helferlein

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Zu A ist nichts weiter bekannt? Dann wird es schwer alle Matrizen B anzugeben.
Deine Antwort setzt Invertierbarkeit von A voraus.

28.11.2023, 19:05

Patrick1990

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Habe es oben geändert und A hinzugefügt, sorry.

28.11.2023, 19:21

Patrick1990

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Ich glaube ich habe jetzt einen Weg gefunden.
Aufgrund einer Nullzeile im Gauß-Algorithmus habe ich $\begin{eqnarray*} x_3=a \end{eqnarray*}$ gesetzt und erhalte dann folgende Lösung:
$\begin{eqnarray*} L=\left \{x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+a\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},a\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left \{B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+a\cdot \begin{pmatrix}1&1&1\\-2&-2&-2\\1&1&1\end{pmatrix},a\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Passt das erstmal so?

28.11.2023, 19:30

Helferlein

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Für den ersten Teil der Aufgabe ist das korrekt, aber wie sehen die Matrizen B mit AB=0 aus?

28.11.2023, 19:32

Patrick1990

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Habe ich eben oben hinzugefügt. Muss ich die Matrix mit den Nullen in der Lösungsmenge jeweils davor schreiben oder reicht die von a abhängige Matrix?

Nun soll noch eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B\backslash \left\{O\right\} \end{eqnarray*}$ angegeben werden, für die gilt: $\begin{eqnarray*} AB=O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BA=O \end{eqnarray*}$ .
Wie geht man da vor? ich hätte jetzt gedachte, dass ich ein a finde, für das beide Gleichungen erfüllt sind, allerdings habe ich da keinen Erfolg mit.

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28.11.2023, 20:12

Helferlein

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Deine Lösung ist leider falsch. Nimm zum Beispiel $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ -2&0&0 \\ 1&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2023, 20:37

Patrick1990

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Wieso ist die falsch? Ich habe es mit unterschiedlichen A probiert und wenn ich A*B rechne, kommt jeweils die Nullmatrix raus.

28.11.2023, 20:46

URL

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Mit welchem $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ kommst du denn auf die Matrix B, die Helferlein angegeben hat?
Für diese Matrix gilt AB=0, die müsste also in deiner Lösungsmenge enthalten sein.

28.11.2023, 20:48

Patrick1990

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Zitat:

Original von URL
Mit welchem $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ kommst du denn auf die Matrix B, die Helferlein angegeben hat?
Für diese Matrix gilt AB=0, die müsste also in deiner Lösungsmenge enthalten sein.

mit a=1, wobei mir noch nicht klar ist, warum die Einträge in Spalte 2 und 3 Null sein müssen und nicht so wie bei mir aussehen dürfen.

Nachtrag: Ok verstehe, die ist in meiner Lösungsmenge nicht enthalten.
Und wie komme ich nun auf B? Einfach ein a einsetzen und die restlichen Spalten mit Nullen füllen? Verstehe noch nicht so den Ablauf dahinter.

28.11.2023, 20:56

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Jede Spalte einer solchen Matrix B muss ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Es muss aber nicht immer das gleiche Vielfache sein.

Abstrakter formuliert: Das Bild von B muss im Kern von A sein. Der Kern von A hat Dimension 1. B ist also eine Rang-1-Matrix. Sowas schreibt man als "Spalte mal Zeile"

28.11.2023, 21:07

Patrick1990

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Ok danke.
Jedoch wäre die von Helferlein vorgeschlagene Matrix ja auch nur eine Lösung und nicht alle Lösungen oder?

28.11.2023, 21:10

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Das war auch nur ein Beispiel für eine weitere Lösung. So hat Helferlein es auch geschrieben.

28.11.2023, 21:14

Patrick1990

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Müsste ich dann folgendes schreiben?
$\begin{eqnarray*} L=\left \{B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&b&c\\-2a&-2b&-2c\\a&b&c\end{pmatrix},a,b,c\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

28.11.2023, 21:17

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Richtig

Freude

Allerdings kannst du die Nullmatrix natürlich weglassen. Die zweite Matrix schreibt man als "Spalte mal Zeile" also als Matrixprodukt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2023, 21:20

Patrick1990

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Perfekt, danke.
Wie ist es nun bei der nächsten Aufgabenstellung? Ich habe sie oben einmal erwähnt.

Es soll noch eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B\backslash \left\{O\right\} \end{eqnarray*}$ angegeben werden, für die gilt: $\begin{eqnarray*} AB=O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BA=O \end{eqnarray*}$ .
Wie geht man da vor?

28.11.2023, 21:29

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Du weißt, welche Form B haben muss, damit AB=0 ist. Also machst du einen entsprechenden Ansatz und berechnest a,b,c aus BA=0

28.11.2023, 21:38

Patrick1990

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Der Hinweis war wichtig für mich.
Ich habe nun eine mögliche Lösung mir a=1/3, b=-1/3, c=1.

28.11.2023, 21:45

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Weil AB=0 sein soll, muss B notwendigerweise die Form $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben. Dabei sind a,b,c noch vollkommen beliebig! Das hast du im ersten Teil der Aufgabe mühsam nachvollzogen.
Jetzt soll aber auch noch BA=0 gelten, d.h. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} A=0 \end{eqnarray*}$
Das gilt sicher, wenn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} A =0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das gibt drei Gleichungen für drei Unbekannte.

28.11.2023, 21:50

Patrick1990

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Zitat:

Original von URL
Das gilt sicher, wenn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} A =0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das gibt drei Gleichungen für drei Unbekannte.

Ok passt, wieso kann ich jetzt den Vektor (1/-2/1) weg lassen?

28.11.2023, 22:00

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Auf den ersten Blick ist das nur ein Versuch. Wenn man Pech hätte, könnte man a,b,c nicht bestimmen.
Wenn man darüber nachdenkt, erkennt man, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} A =0 \end{eqnarray*}$ eine nicht triviale Lösung haben muss.
Tip: Betrachte dazu die transponierte Gleichung und überlege dir die Dimension des Kerns von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$

28.11.2023, 22:14

Patrick1990

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Da solltest du mir sicher noch eine Menge helfen. Ich muss die Begrifflichkeit alle erstmal wieder lernen.
So wie ich es verstanden habe, ist der Kern der Transponierten Matrix ja unendlich groß, da das Gelcihungssystem Ax=0 unendlich viele Lösungen besitzt. +Liege ich da richtig?

28.11.2023, 22:19

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Der Kern hat unendlich viele Elemente, seine (Vektorraum-)Dimension ist allerdings endlich. Um das alles musst du dich jetzt nicht kümmern, um die Aufgabe zu beenden.
Es reicht, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a &b&c \end{pmatrix} A =0 \end{eqnarray*}$ zu lösen. Oder, wenn dir das lieber ist, die äquivalente transponierte Gleichung $\begin{eqnarray*} A^T \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$ .
Das hat dann die gewohnte Form "Matrix mal Vektor" und man kann den Gauß-Algorithmus anwerfen.

28.11.2023, 22:23

Patrick1990

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Die Dimension des Kerns müsste 1 sein.

Ich hatte ja oben schon eine mögliche Lösung geschrieben:
"Ich habe nun eine mögliche Lösung mir a=1/3, b=-1/3, c=1."

Passt das soweit?

28.11.2023, 22:27

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Du Held hast deinen Beitrag von 21:38 Uhr komplett umgeschrieben.
Jetzt passt meine Antwort nicht mehr dazu und ich hätte mir den ganzen Roman sparen können. böse

böse

Ja, das ist eine Lösung.

28.11.2023, 22:31

Patrick1990

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Hat sich etwas überschnitten. Danke für die Hilfe, ich versuche da die Tage noch etwas genauer wieder rein zu kommen. Lang ists her...

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