Spiegelung an einer Ebene

28.11.2023, 22:29

Patrick1990

Spiegelung an einer Ebene

Folgende Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Spiegelung an einer Ebene $\begin{eqnarray*} E:\mathbb R\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\mathbb R\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie die reelle Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = Ax, \forall x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Wie geht man da ran?
Ich verstehe die Schreibweise der Ebene mit den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zunächst nicht einmal.

29.11.2023, 08:46

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RE: Spiegelung an einer Ebene
Ersetze die beiden $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch je einen reellen Parameter a und b. Jetzt klar? Es ist einfach die Darstellung mittels zweier Richtungsvektoren.
Worauf bildet f einen Vektor ab, der in E liegt? Worauf wird ein Vektor abgebildet, der senkrecht zur Ebene liegt?

29.11.2023, 09:07

Patrick1990

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Ok, also könnte ich auch klassich folgendes schreiben:
$\begin{eqnarray*} E: x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f bildet einen Vektor vom R3 ind den R3 ab oder?

29.11.2023, 09:54

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Ja, schon, aber das ist zu allgemein, um nützlich zu sein.
Was passiert mit einem Vektor der Ebene wenn er an dieser Ebene gespiegelt wird?

29.11.2023, 10:01

Patrick1990

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Zitat:

Original von URL
Ja, schon, aber das ist zu allgemein, um nützlich zu sein.
Was passiert mit einem Vektor der Ebene wenn er an dieser Ebene gespiegelt wird?

Naja er erscheint dann auf der anderen Seite der Ebene.

29.11.2023, 10:04

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Wenn der Vektor in der Ebene liegt, dann wird er doch auf sich selbst abgebildet geschockt

29.11.2023, 10:07

Patrick1990

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Zitat:

Original von URL
Wenn der Vektor in der Ebene liegt, dann wird er doch auf sich selbst abgebildet geschockt

Du hast Recht, ich habe nur an einen beliebigen vektor im Raum gedacht, sorry.
Wäre dann A sowas wie die Einheitsmatrix?

29.11.2023, 10:11

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wenn du die Abbildung nur auf der Ebene betrachten würdest, dann ja.
Es gibt aber auch Vektoren die senkrecht zur Ebene stehen. Was passiert mit denen, wenn sie gespiegelt werden? Sag nicht, sie landen auf der anderen Seite, das geht genauer smile

29.11.2023, 10:32

Patrick1990

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Zitat:

Original von URL
wenn du die Abbildung nur auf der Ebene betrachten würdest, dann ja.
Es gibt aber auch Vektoren die senkrecht zur Ebene stehen. Was passiert mit denen, wenn sie gespiegelt werden? Sag nicht, sie landen auf der anderen Seite, das geht genauer smile

Wenn ich jetzt wüsste was du hören möchtest...
Er befindet sich, zusammen mit dem Ursprungsvektor, auf einer Geraden, welche die Ebene senkrecht durchstößt.

29.11.2023, 10:38

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Richtig. So ein Vektor v wird auf -v abgebildet.
Wenn man sich also einen solchen Vektor beschafft, der senkrecht auf der Ebene steht, hat man drei Vektoren, deren Bildvektoren man kennt (die zwei Vektoren in der Ebene und den dazu senkrechten).
Nennt man die beiden Vektoren in der Ebene $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ , den dazu senkrechten $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} Ab_1=b_1, Ab_2=b_2, Ab_3=-b_3 \end{eqnarray*}$
oder als Matrixgleichung $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} b_1\ b_2\ b_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\ b_2\ -b_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Diese Gleichung kann man nach A auflösen.

29.11.2023, 20:01

Patrick1990

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Vielen Dank, ich habe mit Hilfe der Matrixgleichung die Matrix A finden können.

Meine Lösung wäre:
$\begin{eqnarray*} A=\frac 19\begin{pmatrix}1&8&4\\8&1&-4\\4&-4&7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.11.2023, 20:09

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29.11.2023, 20:12

Patrick1990

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Vielen Dank!

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