Zahlen mit genau 9 Teilern

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29.11.2023, 13:42

Fundgrube

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Zahlen mit genau 9 Teilern

Meine Frage:
Nenne alle zahlen zwischen 20 und 50 die genau 9 Teiler haben

Meine Ideen:
Cool

29.11.2023, 13:46

HAL 9000

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Wenn man weiß, dass nur Quadratzahlen ungerade Teileranzahlen aufweisen, und Primzahlquadrate überdies nur 3 Teiler haben, dann schränkt das die Suche schon ganz schön ein. Augenzwinkern

29.11.2023, 14:23

willyengland

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siehe:
https://oeis.org/A030627

29.11.2023, 14:43

HAL 9000

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Wenn man dafür eine OEIS-Liste benötigt, wäre das sicher ein trauriges Zeichen.

29.11.2023, 16:44

willyengland

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Das war nur als zusätzliche Info gedacht. Wink

29.11.2023, 19:26

Steffen Bühler

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Außerdem finde ich die Aussage, dass Zahlen mit 9 Teilern durch $\begin{eqnarray*} p^8 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p^2 \cdot r^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,r \end{eqnarray*}$ prim dargestellt werden, zumindest bemerkenswert. Ebenso, dass die Summe aller Kehrwerte dieser Zahlen über die Zeta-Funktion ausgedrückt werden kann.

Viele Grüße
Steffen

29.11.2023, 19:39

IfindU

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@Steffen: Wenigstens das erste folgt leicht aus den Eigenschaften der Teileranzahlfunktion.

So hat $\begin{eqnarray*} n = \prod p_i^{e_i} \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} d(n) = \prod (e_i + 1) \end{eqnarray*}$ Teiler. Da $\begin{eqnarray*} 9 = 3 \cdot 3 \end{eqnarray*}$ die einzige nicht-triviale Zerlegung besitzt, folgt daraus, dass entweder ein Faktor $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ ist und der Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist (d.h. der Fall $\begin{eqnarray*} n =p^8 \end{eqnarray*}$ ) oder, dass es genau zwei Faktoren mit Wert 3 gibt, was sofort $\begin{eqnarray*} n = p^2 r^2 \end{eqnarray*}$ entspricht.

Edit: Für $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ Teiler mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ prim, gibt es dann nur die Zahlen $\begin{eqnarray*} p^{q^2 - 1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p^{q-1}r^{q-1} \end{eqnarray*}$ .

30.11.2023, 14:57

HAL 9000

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Gibt auch andere schöne Aufgaben mit Teileranzahlen, z.B. die:

Zitat:

Man bestimme alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , die doppelt so groß sind wie ihre Teileranzahl.

Die eigentliche Herausforderung ist dabei nicht, diese Zahlen zu finden, sondern auch sauber nachzuweisen, dass dies wirklich alle sind, d.h. es keine weiteren gibt. Augenzwinkern

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