Einheitskugel und Riemann-Summe

29.11.2023, 14:24	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitskugel und Riemann-Summe Meine Frage: Gegeben: Einheitskugel mit $\begin{eqnarray} -1 \leq t_{0} \leq t_{1} \leq \ldots \leq t_{n} \leq 1 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray} V_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} \pi\left(1-t_{i}^{2}\right)\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \end{eqnarray}$ ist das Volumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der Einheitskugel als Riemann-Summe approximiert. Genauer: $\begin{eqnarray} \max _{1 \leq i \leq n}\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ gilt für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty: V_{n} \rightarrow V \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich würde mich über Hilfe beim Finden eines Ansatzes freuen!
29.11.2023, 14:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Steht da wirklich $\begin{eqnarray} -1\leq t_0\leq t_1 \leq \ldots \leq t_n\leq 1 \end{eqnarray}$ , oder nicht doch eher $\begin{eqnarray} -1=t_0\leq t_1 \leq \ldots \leq t_n=1 \end{eqnarray}$ ? Ansonsten könnte man frecherweise festlegen $\begin{eqnarray} t_0=t_1=\ldots=t_n=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und hätte damit der Forderung $\begin{eqnarray} \max _{1 \leq i \leq n}\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to \infty \end{eqnarray}$ Genüge getan - was sicher nicht im Sinne des Erfinders sein kann. 2) Wenn ein solcher Grenzprozess betrachtet wird, muss es eigentlich $\begin{eqnarray} t_{n,0},\ldots,t_{n,n} \end{eqnarray}$ heißen statt nur $\begin{eqnarray} t_0,\ldots,t_n \end{eqnarray}$ . Ansonsten wären nämlich mit wachsendem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die bisherigen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ "kleinsten" Zerlegungspunkte unverrückbar festgelegt - das geht nicht.
29.11.2023, 15:11	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das steht beides wirklich so in der Aufgabenstellung. Aber ich nehme auch mal an, dass eher weiteres gemeint ist, denn sonst wäre ja offenbar kaum etwas zu tun. Und auch bezüglich der zweiten Anmerkung würde ich auch mal vermuten, dass das entsprechend anders gemeint ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »