Injektiv/surjektiv

29.11.2023, 23:39

DeltastelleDE

Injektiv/surjektiv

Hey,

ist die Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) \rightarrow (y+42, x-22) \end{eqnarray*}$ injektiv, surjektiv oder beides? Wie kann man das hier nachweisen?

30.11.2023, 09:30

Elvis

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Man schreibt die Umkehrfunktion g(x,y)=(...,...) hin, berechnet g(f(x,y))=(x,y). Damit ist bewiesen, dass f und g bijektiv, also injektiv und surjektiv sind. Wenn man nicht sofort sieht, was anstatt ... stehen muss, probiert man ein bißchen herum.

30.11.2023, 14:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
berechnet g(f(x,y))=(x,y). Damit ist bewiesen, dass f und g bijektiv

Genau genommen ist dazu auch noch f(g(x,y))=(x,y) nachzuweisen.

30.11.2023, 18:23

Elvis

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Wieso ? Nach meinem Verständnis haben nur bijektive Funktionen eine Umkehrfunktion. Sowohl f als auch g sind auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ definierte Funktionen. Gibt es eine umkehrbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}:Y\to X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}\circ f=id_X \end{eqnarray*}$ , für die nicht $\begin{eqnarray*} f\circ f^{-1}=id_Y \end{eqnarray*}$ gilt ?

30.11.2023, 18:39

HAL 9000

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Der bloße Nachweis von $\begin{eqnarray*} g(f(x,y)) = (x,y) \end{eqnarray*}$ zeigt nur, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, nicht aber dass es surjektiv ist:

Könnte ja auch sein, dass $\begin{eqnarray*} f\left(\mathbb{Z}^2\right) \end{eqnarray*}$ nur eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ ist...

Zitat:

Original von Elvis
Gibt es eine umkehrbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}:Y\to X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}\circ f=id_X \end{eqnarray*}$ , für die nicht $\begin{eqnarray*} f\circ f^{-1}=id_Y \end{eqnarray*}$ gilt ?

Nein, aber es gibt injektive Funktionen $\begin{eqnarray*} f:~X\to Y \end{eqnarray*}$ , die nicht surjektiv sind, wo es dann mehrere verschiedene Funktionen $\begin{eqnarray*} g:~Y\to X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g\circ f = \operatorname{id}_X \end{eqnarray*}$ welche lediglich eint, dass sie auf $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, nicht notwendig aber auf $\begin{eqnarray*} Y\setminus f(X) \end{eqnarray*}$ .

Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als Funktion $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}_{0+}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist lediglich injektiv. Die Funktion $\begin{eqnarray*} g:~\mathbb{R}\to \mathbb{R}_{0+} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt $\begin{eqnarray*} g\circ f =\operatorname{id}_{\mathbb{R}_{0+}} \end{eqnarray*}$ , nicht aber $\begin{eqnarray*} f\circ g =\operatorname{id}_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ .

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