Umkehrfunktion

01.12.2023, 09:22

MMchen60

Umkehrfunktion

Liebe Forumsgemeinde,
ich bin bei der Aufgabe im Anhang etwas ratlos. Klar es geht um die Umkehrfunktion, die hier plötzlich mit $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ beschrieben wird, (ich kenne da de Notation $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ), aber egal.
Könnte ich bitte mal ein Beispiel haben für f(x), $\begin{eqnarray*} \overline{f}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\overline{f}(x) ) \end{eqnarray*}$ ? Oder besser noch: wenn $\begin{eqnarray*} f(\overline{f}(x) )=x \end{eqnarray*}$ , was ist dann f(x) und was $\begin{eqnarray*} \overline{f}(x) \end{eqnarray*}$ . Dan ke.

01.12.2023, 09:28

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RE: Ich verstehe nicht, was da gemeint ist
$\begin{eqnarray*} I=[1,2], f(x)=x^2,\bar f (x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} W_f=[1,4] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\bar f (x))=f(\sqrt x) = (\sqrt x)^2=x \end{eqnarray*}$

01.12.2023, 12:22

HAL 9000

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Da sollte als Voraussetzung wohl besser $\begin{eqnarray*} f'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ stehen.

03.12.2023, 10:52

MMchen60

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RE: Ich verstehe nicht, was da gemeint ist

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} I=[1,2], f(x)=x^2,\bar f (x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} W_f=[1,4] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\bar f (x))=f(\sqrt x) = (\sqrt x)^2=x \end{eqnarray*}$

Das berdeutet dann doch dass, wenn $\begin{eqnarray*} \bar f (x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ ist, dass $\begin{eqnarray*} \bar f'(x)=\frac {1}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist. Und wenn $\begin{eqnarray*} f(\bar f (x))= x \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f'(\bar f (x))= 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber doch unmöglich
$\begin{eqnarray*} \bar f'(x)=\frac {1}{f'(\bar f (x))} \end{eqnarray*}$ wie es in der Aufgabe steht, denn das wäre ja dann doch $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1}=1 \end{eqnarray*}$ oder?

03.12.2023, 13:33

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RE: Ich verstehe nicht, was da gemeint ist
Da steht $\begin{eqnarray*} f'(\bar f (x)) \end{eqnarray*}$ , d.h. bilde die Ableitung von f und setze dann $\begin{eqnarray*} \bar f (x) \end{eqnarray*}$ ein.
Hier ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f'(\bar f (x))=2 \bar f (x)=2\sqrt x \end{eqnarray*}$

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