Gruppe o(xy) = o(x)o(y)

01.12.2023, 14:48

KonverDiv

Gruppe o(xy) = o(x)o(y)

Hallo,

Wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist und wir bereits wissen, dass dann $\begin{eqnarray*} o(xy)|o(x)o(y) \end{eqnarray*}$ gilt, also die Ordnung von $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ das Produkt der Ordnung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ teilt, möchte ich zeigen, dass auch gilt $\begin{eqnarray*} o(xy) = o(x)o(y) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} ggt(o(x),o(y))=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Beweis sehe so aus:

Seien $\begin{eqnarray*} o(x) = m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} o(y) = n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} o(xy) = r \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} (xy)^r = e \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x^r = y^{-r} \end{eqnarray*}$ woraus wir weiter folgern können, dass $\begin{eqnarray*} x^{mr} = y^{-mr} = e \end{eqnarray*}$ gilt. Weil die Ordnung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} mr \end{eqnarray*}$ teilt, erhalten wir $\begin{eqnarray*} n|mr \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} ggt(n,m)=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} n|r \end{eqnarray*}$ .

Ähnlich ist es für $\begin{eqnarray*} x^{nr} = y^{-nr} = e \end{eqnarray*}$ , da die Ordnung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} nr \end{eqnarray*}$ teilt, erhalten wir $\begin{eqnarray*} m|nr \end{eqnarray*}$ und wieder wegen $\begin{eqnarray*} ggt(n,m)=1 \end{eqnarray*}$ , folgt $\begin{eqnarray*} m|r \end{eqnarray*}$

Wir haben $\begin{eqnarray*} n|r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m|r \end{eqnarray*}$ also gilt $\begin{eqnarray*} nm|r \end{eqnarray*}$ und wir erhalten $\begin{eqnarray*} o(x)o(y)|o(xy) \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} o(xy)|o(x)o(y) \end{eqnarray*}$ folgt daraus $\begin{eqnarray*} o(xy) = o(x)o(y) \end{eqnarray*}$ .

Geht das so? verwirrt

01.12.2023, 19:24

IfindU

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RE: Gruppe o(xy) = o(x)o(y)

Zitat:

Original von KonverDiv
Wir haben $\begin{eqnarray*} n|r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m|r \end{eqnarray*}$ also gilt $\begin{eqnarray*} nm|r \end{eqnarray*}$

An der Stelle brauchst du noch einmal, dass $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Ansonsten sieht es gut aus Freude

02.12.2023, 10:12

KonverDiv

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RE: Gruppe o(xy) = o(x)o(y)
Super und danke sehr IfindU! Freude

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Gruppe o(xy) = o(x)o(y)

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