Element mit Ordnung m in Gruppe

03.12.2023, 12:01

KonverDiv

Element mit Ordnung m in Gruppe

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass, wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine positive ganze Zahl ist, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ enthält, genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilt.

Für die Richtung "=>" sehe mein Ansatz des Beweises etwa so aus: Es ist $\begin{eqnarray*} x^n = e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = qm + r \end{eqnarray*}$ nach Euklid, damit erhält man $\begin{eqnarray*} x^n = x^{qm+r} = (x^m)^q x^r = e^q x^r = e x^r = e \end{eqnarray*}$ und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ ist. Also haben wir $\begin{eqnarray*} n = qm \end{eqnarray*}$ und das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} m|n \end{eqnarray*}$ . Geht das als Beweis für die Hinrichtung? verwirrt

Für die Gegenrichtung "<=", weiß ich bisher noch nicht, wie ich aus $\begin{eqnarray*} m|n \end{eqnarray*}$ folgern könnte, dass es ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gibt. Es wäre ja $\begin{eqnarray*} m|n \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} mq = n \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} x^n = (x^m)^q = e \end{eqnarray*}$ , aber hieraus folgt doch nicht die Existenz eines Elements mit der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , oder doch?

Danke für eure Hilfe smile

03.12.2023, 12:53

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Element mit Ordnung m in Gruppe
Für die Hinrichtung: Erwähne bitte, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sein soll.

Zur Rückrichtung: $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist zyklisch. Nimm ein erzeugendes Element und konstruiere daraus ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

03.12.2023, 13:20

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Element mit Ordnung m in Gruppe
Hallo @IfindU,

Erwähne bitte, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sein soll.
Oh ja, das stimmt habe ich glatt unterschlagen. Danke für den Hinweis. Freude

Zur Rückrichtung: Also etwa, Sei $\begin{eqnarray*} b = x^k \end{eqnarray*}$ ein erzeugendes Element, wobei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} b^m = e \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} ord(x) = n \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x^n = e \end{eqnarray*}$ , folgern wir $\begin{eqnarray*} b^m = (x^k)^m = (x^m)^k = e = x^n \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . verwirrt

03.12.2023, 15:16

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Element mit Ordnung m in Gruppe
Du bringst da einiges durcheinader. Was soll jetzt das erzeugende Element sein? $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Die Idee ist: Sei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Erzeuger von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} G= \{ e, b, b^2, \ldots, b^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ .

Dann können wir $\begin{eqnarray*} x = b^q \end{eqnarray*}$ definieren, und das Element hat dann Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} n = mq \end{eqnarray*}$ ).

03.12.2023, 15:45

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Element mit Ordnung m in Gruppe
Hallo @IfindU,

bei meinem Ansatz sollte auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein erzeugendes Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sein.

Wenn ich die Frage stellen darf, warum hat $\begin{eqnarray*} x = b^q \end{eqnarray*}$ denn die Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ? Ist das einfach eine Folgerung daraus, dass man $\begin{eqnarray*} n = mq \end{eqnarray*}$ definiert? Weil somit $\begin{eqnarray*} x^m = b^{qm} = b^n = e \end{eqnarray*}$ wäre? Also bestätigt dies $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2023, 16:46

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Element mit Ordnung m in Gruppe
Wenn $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ erzeugend ist, ist es nicht zwingend von der Form $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} b=x^k \end{eqnarray*}$ zu setzen ist erklärungswürdig.

Zum zweiten: Und genau, deswegen ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von höchstens der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Es könnte natürlich (a priori) eine kleine Ordnung besitzen. Deswegen ist es wichtig das auf $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aufzubauen, damit $\begin{eqnarray*} x^m = e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^k \neq e \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1 \leq k < m \end{eqnarray*}$ .

03.12.2023, 20:17

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Element mit Ordnung m in Gruppe

Zitat:

Original von IfindU
D.h. $\begin{eqnarray*} b=x^k \end{eqnarray*}$ zu setzen ist erklärungswürdig.

Das ist wahr! Und genau der entscheidende Fehler im zweiten Teil meines Beweises! smile

Danke, dann habe ich das verstanden! Ich wünsche dir noch einen netten Abend! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Element mit Ordnung m in Gruppe

Verwandte Themen