Wie lässt sich diese Funktion durch Taylor abschätzen?

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asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lässt sich diese Funktion durch Taylor abschätzen?
Meine Frage:
Es wird versucht, den Wert 1,05^1,02 anzunähern, dazu sollte man das Taylorpolynom bis zur 2. Ordnung berechnen für x^y an (1;1) und das Restglied abschätzen.
Das Taylorpolynom konnte ich bereits berechnen, wie kann ich nun das Restglied abschätzen, um einen Fehler kleiner 10^-4 erhalten zu können?

Meine Ideen:
Das Taylorpolynom ist bereits sehr nah an dem eigentlichen Wert, wie lässt sich ein Restglied abschätzen, um den Fehler zu minimieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche der verschiedenen Restglieddarstellungen du auch immer betrachten willst, auf jeden Fall benötigst du dafür die insgesamt vier dritten Ableitungen deiner Funktion .

Zitat:
Original von asdfjklö123
wie lässt sich ein Restglied abschätzen, um den Fehler zu minimieren?

Damit das klar ist: Hier geht es nicht um Minimierung eines Fehlers! Der Fehler ist wie er ist, wenn du den Funktionswert durch ein Taylorpolynom zweiten Grades approximieren willst, Punkt - da gibt es nichts zu minimieren. Was du hier tun kannst ist allenfalls, den Approximationsfehler nach oben abzuschätzen, indem du eben diese tust für das Taylorformel-Restglied.
asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke für den Hinweis, und wenn ich die Ableitungen habe, wie geht es dann weiter und was sagt mir dieser Wert dann aus?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wie im Eindimensionalen: Du musst das Restglied nach oben abschätzen - wie GENAU das geschehen kann, hängt von der konkreten Struktur der Ableitung ab, da kann man kein Generalrezept verkünden.
asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wird in diesem Fall konkret das Restglied gebildet aus den 3.ten partiellen Ableitungen?
asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lässt sich das Restglied darstellen?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist das Restglied



wobei von nur bekannt ist sowie . D.h. du musst diese vier dritten Ableitungen

1) zunächst mal allgemein ausrechnen, und dann

2) unter Kenntnis dieser Grenzen sowie hier geeignet betragsmäßig nach oben abschätzen.


Das ist nun mal mit ein wenig Arbeit verbunden, also fang mit Ableitungsübung 1) endlich mal an!
asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »




HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch schon mal gut aus. So, nun sind diese Ableitungs-Werte abzuschätzen, dabei kann z.B. auch für alle nutzen:



Und das ist schon der größte Brocken der vier. Versuch ähnliches auch bei den anderen drei, z.B.

asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke erstmal
Kann ich darauf die Abschätzungen in das Restglied einsetzen, meine Abschätzung für f_xyy ist 0.11 und meine Abschätzung für f_xxx ist 0.0005, also jeweils größer als dieser Wert
asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich nun einfach für x 1.05 und für y 1.02 einsetzen im Restglied? Kann ich so einen Fehler kleiner 10^-4 erreichen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, setze sowie in



ein, und zusammen mit deinen (betragsmäßigen!) Abschätzungen der Ableitungen nach oben sollte man dann insgesamt eine betragsmäßige Abschätzung nach oben für das Restglied bekommen. Ob die kleiner als ist? Werden wir sehen - Daumendrücken.
asdfjklö123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, müsste passen der Fehler beläuft sich auf 0.0000274
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