Spiegelung an parallelen Hyperebenen

06.12.2023, 15:32	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung an parallelen Hyperebenen Meine Frage: Liebe Matheleute, Ich habe zwei parallele Hyperebenen im R^n. Ich möchte zeigen, dass eine Kongruenzabbildung T von R^n zu R^n genau dann eine Verschiebung Tau ist, wenn ich T als Verkettung von Spiegelungen an den beiden Hyperebenen darstellen kann. Meine Ideen: H1=a+U H2=b+U Spiegelung an H1 ist Verkettung von Verschiebung um a, Spiegelung an U und Verschiebung um -a. Äquivalentes gilt für Spiegelung an H2. Verkettung von S_H1 und S-H2 muss dann zu einer Verschiebung führen. Das bekomme ich nicht aufgelöst. Wie löse ich das Problem? Ergänzung: Ich soll dabei nutzen, dass T die Verknüpfung einer orthogonalen Abbildung und einer Verschiebung is Viele Grüße Catrin von Bubi Drei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
09.12.2023, 18:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \sigma_U \end{eqnarray}$ die Spiegelung an $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tau_x \end{eqnarray}$ die Translation um $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \sigma_{H_1}=\tau_{-a}\circ \sigma_U\circ \tau_a, \sigma_{H_2}=\tau_{-b}\circ \sigma_U\circ \tau_b \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sigma_{H_2}\circ\sigma_{H_1} =\tau_{-b}\circ \sigma_U\circ \tau_b\circ\tau_{-a}\circ \sigma_U\circ \tau_a=\tau_{-b}\circ \sigma_U\circ \tau_{b-a}\circ \sigma_U\circ \tau_a \end{eqnarray}$ . Mir scheint aufgrund einer Skizze, dass gilt $\begin{eqnarray} \sigma_U\circ \tau_{b-a}\circ \sigma_U=\tau_{\sigma_U(b-a)} \end{eqnarray}$ , also ist die Spiegelung an zwei parallelen Hyperebenen die Komposition von drei Translationen: $\begin{eqnarray} \sigma_{H_2}\circ\sigma_{H_1} =\tau_{-b}\circ \tau_{\sigma_U(b-a)}\circ \tau_a=\tau_{a-b+{\sigma_U(b-a)}} \end{eqnarray}$ , also eine Translation.
10.12.2023, 12:24	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zeichnerisch ist es so. Danke und viele Grüße Catrin von Bubi

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