Abgeschlossenheit bezüglich Inversen-Bildung

10.12.2023, 13:41	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit bezüglich Inversen-Bildung Hallo, angenommen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind Untergruppen von der Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ dann abgeschlossen bezüglich Inversen-Bildung? Mein Ansatz dies zu zeigen wäre folgender: Sei $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ oder in beiden, also $\begin{eqnarray} x \in A \cap B \end{eqnarray}$ . Angenommen $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ , dann folgt wegen der Untergruppen Eigenschaft $\begin{eqnarray} x^{-1} \in A \end{eqnarray}$ . Das kann man auch auf $\begin{eqnarray} x \in B \Rightarrow x^{-1} \in B \end{eqnarray}$ übertragen. Wenn $\begin{eqnarray} x \in A \cap B \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray} x^{-1} \in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{-1} \in B \end{eqnarray}$ ist, also auch $\begin{eqnarray} x^{-1} \in A \cap B \end{eqnarray}$ . Das heißt doch an dieser Stelle, dass dann $\begin{eqnarray} x^{-1} \in A \cup B \end{eqnarray}$ und somit die Vereinigung $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ abgeschlossen bezüglich Inversen-Bildung ist, oder? Vielen Dank!
10.12.2023, 14:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossenheit bezüglich Inversen-Bildung Ich nehme an du hast einen Fehler in der Aufgabe. Die Aussage ob $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ abgeschlossen bzgl. Inversenbildung ist, ist trivial. Edit: Es soll wohl heißen, ob $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ abgeschlossen bzgl. Inversenbildung ist. Den Fall $\begin{eqnarray} x \in A \cap B \end{eqnarray}$ brauchst du auch nicht dediziert betrachten. Insgesamt stimmt es.
10.12.2023, 14:49	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossenheit bezüglich Inversen-Bildung @IfindU, Oh, da war ein ein Fehler in der Aufgabenstellung. Ich habe das berichtigt. Deine Annahme war absolut richtig. Danke für deine Hilfe!

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