Siegwahrscheinlichkeit bei einem Brettspiel (würfeln)

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12.12.2023, 07:57

Calvin

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Siegwahrscheinlichkeit bei einem Brettspiel (würfeln)

Hallo zusammen,

ich scheiter mal wieder an dem einzigen Bereich in Mathe, zu dem ich nie Zugang gefunden habe Hammer

Natürlich wäre mir die Rechnung an einem Beispiel am liebsten Big Laugh

Aber mit ein paar Stichworten komme ich vermutlich auch weiter. So schwer wird das ja hoffentlich nicht sein Augenzwinkern

Ich habe hier ein Brettspiel, bei dem man unter anderem durch einen Würfelmechanismus gegen böse Kreaturen kämpfen muss. Da jeder Spielcharakter unterschiedliche Eigenschaften hat, war ich neugierig, welche Figur hierfür wohl der beste ist.

Das Prinzip ist ähnlich wie bei Kniffel. Man kann mehrmals würfeln, wobei nach jedem Wurf die bereits passenden Würfel liegen bleiben.

Konkret:
Spieler hat 4 Würfel
Jeder Würfel enthält 2 Schwerter und 4 andere Symbole
Um die Kreatur zu besiegen werden 3 Schwerter benötigt.

Beispiel-Szenario
1. Wurf mit 4 Würfeln => 1 Schwert
2. Wurf mit 3 Würfeln => 0 Schwerter gewürfelt
3. Wurf mit 3 Würfeln => 2 Schwerter gewürfelt

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit 1, 2 oder 3 Würfen die Kreatur besiegt?

Damit wurden in 3 Versuchen insgesamt 3 Schwerter gewürfelt und die Kreatur besiegt.

Wer neugierig ist, um welches Spiel es sich handelt: Es ist *Andor Junior*. Tolles Familienspiel Gott

12.12.2023, 08:17

adiutor62

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RE: Siegwahrscheinlichkeit bei einem Brettspiel (würfeln)
p(Schwert) = 2/6 =1/3

3 S in 1 Wurf:

n= 4, p= 1/3, k= 3

(4über3)*(1/3)^3*(2/3)= ...

2 Würfe:
Möglichkeiten/Schwerteranzahl: 1. Wurf - 2. Wurf: 0-3, 1-2, 2 -1

3 Würfe: 0-0-3, 1-0-2, 0-1-2, 1-1-1

Addiere jeweils die einzelnen WKTen!

12.12.2023, 08:39

Calvin

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Danke. Womit du genau mein dauerhaftes Problem aufzeigst...

Du hast bei 2 Würfen die Varianten 1-0-2 und 0-1-2 geschrieben.

Warum nicht 2-0-1 und 0-2-1? Hast du das vergessen? Oder ist die Reihenfolge egal und eines deiner beiden ist überflüssig?

Und verstehe ich es richtig, dass k die Anzahl der zu erwarteten Schwerter pro Wurf ist? Also jeweils genau die Zahlen, die du mir 0-1-2 beschrieben hast?

12.12.2023, 08:47

HAL 9000

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Offenbar ist die Anzahl der in einem Wurf mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfeln erzielte Anzahl an Schwertern eine binomialverteilte Zufallsgröße, genauer gemäß $\begin{eqnarray*} B\left(n,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ , wir arbeiten also mit Hilfsgröße $\begin{eqnarray*} q_{n,k} := \binom{n}{k} \frac{2^{n-k}}{3^n} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man das eigentliche Problem rekursiv angehen:

Sei $\begin{eqnarray*} p(m,n,k) \end{eqnarray*}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit, mit genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfeln beginnend in $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Würfen die Mindest-Schwertzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu erreichen.

Start: $\begin{eqnarray*} p(1,n,k) = \sum_{j=k}^n q_{n,j} \end{eqnarray*}$ , das sind $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oder mehr Schwerter gleich im ersten Wurf.

Iteration: $\begin{eqnarray*} p(m,n,k) = \sum_{j=0}^{\min(n,k-1)} q_{n,j}\cdot p(m-1,n-j,k-j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m>1 \end{eqnarray*}$

Erklärung zur Iterationsformel: Im ersten Wurf werden $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ Schwerter erzielt, diese Würfel legt man ja beiseite. Weiter gewürfelt wird mit $\begin{eqnarray*} n-j \end{eqnarray*}$ Würfeln, wobei wir damit nunmehr nur noch $\begin{eqnarray*} k-j \end{eqnarray*}$ Schwerter erzielen müssen.

12.12.2023, 09:00

Calvin

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Danke HAL, präzise wie immer Freude

Damit kann ich mir das ausrechnen und versuchen nachzuvollziehen was da genau passiert bzw. wie sich die Wahrscheinlichkeiten entwickeln.

Und ich kann auch versuchen mir meine vorherigen Fragen an auditor selbst zu beantworten.

12.12.2023, 09:15

HAL 9000

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Warte mal noch einen Moment: Ich hab das in Python implementiert und bekomme Wahrscheinlichkeiten >1, peinlich ... muss mal sehen, ob das an meiner Implementation liegt oder doch in der obigen Iterationsformel noch ein Fehler ist.

EDIT: Ok, alles klar - es lag an der Implementierung. Augenzwinkern

Hier die Wahrscheinlichkeitswerte $\begin{eqnarray*} p(m,4,3) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=1\ldots 10 \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

1 : 1 / 9 = 0.111111 akkumuliert 0.111111
2 : 632 / 2187 = 0.288980 akkumuliert 0.400091
3 : 45728 / 177147 = 0.258136 akkumuliert 0.658227
4 : 2364032 / 14348907 = 0.164753 akkumuliert 0.822981
5 : 104995328 / 1162261467 = 0.090337 akkumuliert 0.913318
6 : 4299794432 / 94143178827 = 0.045673 akkumuliert 0.958991
7 : 167953276928 / 7625597484987 = 0.022025 akkumuliert 0.981016
8 : 6373079416832 / 617673396283947 = 0.010318 akkumuliert 0.991334
9 : 237447616790528 / 50031545098999707 = 0.004746 akkumuliert 0.996080
10 : 8743308120031232 / 4052555153018976267 = 0.002157 akkumuliert 0.998237

Für das Skript habe ich das Problem übrigens "ganzzahlig" gemacht, indem ich statt $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ die Funktionen $\begin{eqnarray*} Q_{n,k} = 3^n\cdot q_{n,k} = \binom{n}{k}\cdot 2^{n-k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(m,n,k) = 3^{mn}\cdot p(m,n,k) \end{eqnarray*}$ betrachtet habe. Damit lautet die Rekursion nämlich

$\begin{eqnarray*} P(1,n,k) = \sum_{j=k}^n Q_{n,k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(m,n,k) = \sum_{j=0}^{\min(n,k-1)} 3^{(m-1)j}\cdot Q_{n,j}\cdot P(m-1,n-j,k-j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m>1 \end{eqnarray*}$ ,

und da Python problemlos auch mit riesigen ganzen Zahlen zurecht kommt, passt das hervorragend. Augenzwinkern

12.12.2023, 10:20

adiutor62

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Zitat:

Du hast bei 2 Würfen die Varianten 1-0-2 und 0-1-2 geschrieben.

Wo habe ich das getan?

Ich schrieb:

Zitat:

2 Würfe:Möglichkeiten/Schwerteranzahl: 1. Wurf - 2. Wurf: 0-3, 1-2, 2 -1

12.12.2023, 11:31

HAL 9000

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Ich hab das ganze allerdings so verstanden, dass man am Ende MINDESTENS drei Schwerter haben soll, d.h., vier oder mehr wird auch mit zu den günstigen Varianten gezählt. Selbstverständlich kommt es nur dann zu weiteren Würfen, wenn man vorher insgesamt nur zwei oder weniger Schwerter erworben hatte.

EDIT: Hmm, "oder mehr" ist natürlich Unsinn von mir gewesen, man kann bei der Vorgehensweise nie mehr als insgesamt vier Schwerter erreichen - pro Würfel maximal ein Schwert. Augenzwinkern

12.12.2023, 20:17

Calvin

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@adiutor

Da habe ich mich bei der Anzahl der Würfe vertippt... Du hast geschrieben

Zitat:

3 Würfe: 0-0-3, 1-0-2, 0-1-2, 1-1-1

@HAL
Ja, du hast es richtig verstanden. Es müssen mindestens 3 Schwerter benötigt um die Kreatur zu besiegen.

Wobei es auch andere Kreaturen gibt, bei denen schon 2 Schwerter reichen. Und jeder Spieler hat eine andere Anzahl Würfel bzw. eine unterschiedliche Anzahl Schwerter pro Würfel. Aber das sind Details, die für meine Frage keinen großen Unterschied machen. So viel Transferleistung traue ich mir zu Augenzwinkern

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