Für welche Werte x,y konvergiert die Taylorreihe?

12.12.2023, 15:03

Ilovemath3

Für welche Werte x,y konvergiert die Taylorreihe?

Meine Frage:
Die Funktion lautet jeweils von (-1,1) auf die reellen Zahlen:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{1}{(1-x}\cdot\frac{1}{1-y} \end{eqnarray*}$
getaylort am Punkt (0,0)

Meine Ideen:
Ich habe bisher bis zur 2. Ordnung entwickelt, lässt sich Taylorreihe dann als Reihe schreiben, wenn man ein Muster erkennt?

12.12.2023, 16:43

HAL 9000

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Ist doch basierend auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-y} = \sum_{i=0}^{\infty} x^i \cdot \sum_{j=0}^{\infty} y^j =\left(1+x+x^2+\ldots\right)\cdot \left(1+y+y^2+\ldots\right) \end{eqnarray*}$

nicht schwer. Nach Potenzen geordnet würde man zum Cauchy-Produkt übergehen.

Ach und zur Frage: Konvergenz findet auf dem gesamten Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} (-1,1)^2 \end{eqnarray*}$ statt.

12.12.2023, 18:21

Ilovemath3

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Bis zur 2. Ordnung Taylor ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 1+x+y+x^2+yx+y^2 \end{eqnarray*}$
Ist dies dann nicht auch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (x+y)^n \end{eqnarray*}$
Wie kommt man auf die Konvergenz auf dem ganzen Def.bereich?

13.12.2023, 05:40

Ilovemath3

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Erhält man dann nicht auch die geometrische Reihe für bestimmte Werte für x,y als Konvergenz?

13.12.2023, 06:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ilovemath3
Ist dies dann nicht auch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (x+y)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ falsch, z.B. bekommt man für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ den Term $\begin{eqnarray*} x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray*}$ statt des richtigen $\begin{eqnarray*} x^2+xy+y^2 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Nein, wie ich sagte "Cauchyprodukt": Das lautet hier

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} x^i \cdot \sum_{j=0}^{\infty} y^j = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n x^k y^{n-k} = 1 + \left(x+y\right) + \left(x^2+xy+y^2\right) + \left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right) + \ldots \end{eqnarray*}$ .

Die Konvergenz ist dadurch gesichert, dass die beiden Ausgangsreihen links für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |y|<1 \end{eqnarray*}$ absolut konvergieren, dann konvergiert auch deren Cauchyprodukt absolut.

13.12.2023, 07:06

Ilovemath3

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Ok, d.h. also es ist bereits ausreichend zu sagen, dass die Reihen absolut konvergieren und deswegen auch das Cauchyprodukt konvergiert oder muss dies noch etwas formaler gezeigt werden?

13.12.2023, 07:41

HAL 9000

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Das weiß ich doch auch nicht, ob du diese Konvergenzaussage über Cauchyprodukt-Reihen verwenden darfst. Falls nicht, dann musst du es eben "zu Fuß" nachweisen.

13.12.2023, 07:49

Ilovemath3

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Ok, danke für den Hinweis, aber wenn, dann lässt sich sagen, dass die einzelnen Reihen absolut konvergieren, weil sie geometrische Reihen sind, vorausgesetzt man weiß, dass diese absolut konvergieren?

13.12.2023, 14:26

HAL 9000

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Ich hab jetzt alles dazu gesagt, was ich sagen will - diese Absicheritis von dir jetzt sogar bei der im Schulunterricht hinreichend behandelten geometrischen Reihe nervt schon gewaltig.

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