Transformieren in Kugelkoordinaten

16.12.2023, 13:47

Stiiv

Transformieren in Kugelkoordinaten

Meine Frage:
Guten Tag Big Laugh

Ich mache es kurz.
Das ist die Aufgabe von unserer Hochschule.
Gegeben ist ein Feld:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 3 \cdot z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Aufgabe ist es dieses in Kugelkoordinaten anzugeben.

Ich und keiner meiner Kommilitone findet den Lösungsweg.

Die Lösungen für diese Aufgabe sind:

$\begin{eqnarray*} F_r={2\cdot r\cdot \cos ^2\left(\theta\right)+r} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{\theta}={-2\cdot r \cdot \cos \left( \theta \right) \cdot \sin \left( \theta \right)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{\varphi}={0} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Es hat bestimmt etwas mit trig identities zu tun, nur leider kommen wir da nicht weiter. Es wundert uns auch am meisten das die Winkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zu einem werden.
Ausgehend davon das man das mit
$\begin{eqnarray*} F_r= x = r \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \cos \left( \varphi \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{\theta}=y=r \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \sin \left( \varphi \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{\varphi} = z = r \cdot \cos \left(\theta \right) \end{eqnarray*}$
berechnet

16.12.2023, 16:13

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RE: Transformieren in Kugelkoordinaten
Die Angabe muss falsch sein!
Abgesehen davon würde ich die Kettenregel anwerfen.
$\begin{eqnarray*} F_r=F_x\frac{dx}{dr}+F_y\frac{dy}{dr}+F_z\frac{dz}{dr} \end{eqnarray*}$

17.12.2023, 17:12

Stiiv

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RE: Transformieren in Kugelkoordinaten
Ich habe mittlerweile einen Lösungsweg gefunden, der ist aber unglaublich kompliziert per Hand zu rechnen.
[attach]57413[/attach]
Ich versthe deinen Ansatz leider auch nicht ganz.
Und was meinst du mit "Die Angabe muss falsch sein!" ?

17.12.2023, 17:57

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RE: Transformieren in Kugelkoordinaten
Bei dir steht "Gegeben ist ein Feld" und dann links ein zweidimensionaler Vektor, rechts ein dreidimensionaler. Das muss falsch sein.
Ansonsten habe ich die Notation deiner Aufgabe offenbar komplett falsch verstanden. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, komme ich auf das richtige Ergebnis. Das mag aber am linearen Vektorfeld F liegen.

18.12.2023, 11:41

Stiiv

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RE: Transformieren in Kugelkoordinaten
Wir haben die Aufgabe heute besprochen, und ja du hast recht, das F_z hat gefehlt.

und mir ist aufgefallen das ich bei

Zitat:

Ausgehend davon das man das mit
$\begin{eqnarray*} F_r= x = r \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \cos \left( \varphi \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{\theta}=y=r \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \sin \left( \varphi \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{\varphi} = z = r \cdot \cos \left(\theta \right) \end{eqnarray*}$
berechnet

Eigentlich F_x=x=... , F_y=y=... , F_z=z... schreiben wollte.

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