Regularität zweier Matrizen

16.12.2023, 16:26

HiBee123

Regularität zweier Matrizen

Hallöchen liebes Matheboard Wink

Gegeben ist eine reguläre Matrix $\begin{eqnarray*} B\in \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ und zwei Matrizen
$\begin{eqnarray*} U,V\in \mathbb{R}^{nxm} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \leq n \end{eqnarray*}$ Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} B+UV^t \end{eqnarray*}$ genau dann regulär ist, wenn $\begin{eqnarray*} I+V^tB^{-1}U \end{eqnarray*}$ regulär ist. Ich hab leider noch keinen Ansatz dafür. Dann soll weiterhin gezeigt werden, dass
$\begin{eqnarray*} (B+UV^t)^{-1}=B^{-1}-B{-1}U(I+V^tB^{-1}U)^{-1}V^tB^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Hier habe ich probiert mit dem Term $\begin{eqnarray*} B+UV^t \end{eqnarray*}$ durchzumultiplizieren, komme aber ebenfalls auf nix sinnvolles.

Dankbar für Tipps,
eure HiBee

16.12.2023, 19:06

HAL 9000

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RE: Regularität zweier Matrizen

Zitat:

Original von HiBee123
Hier habe ich probiert mit dem Term $\begin{eqnarray*} B+UV^t \end{eqnarray*}$ durchzumultiplizieren, komme aber ebenfalls auf nix sinnvolles.

Verwunderlich, denn das geht an sich glatt durch:

$\begin{eqnarray*} \left[ B^{-1} - B^{-1}U(I+V^tB^{-1}U)^{-1}V^tB^{-1} \right]\cdot \left[ B + UV^t \right] &=& I - B^{-1}U(I+V^tB^{-1}U)^{-1}V^t + B^{-1}UV^t - B^{-1}U(I+V^tB^{-1}U)^{-1}V^tB^{-1}UV^t\\ &=& I + B^{-1}U \left[I - (I+V^tB^{-1}U)^{-1}\left(I+V^tB^{-1}U\right)\right] V^t = I + B^{-1}U \left[I - I\right] V^t = I \end{eqnarray*}$

EDIT: Vorzeichen in der zweiten Zeile korrigiert nach Hinweis von HiBee123 .

16.12.2023, 19:45

HiBee123

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RE: Regularität zweier Matrizen
Ach ja stimmt. geschockt

Da hab ich wohl irgendwo falsch geklammert.
Hast du auch noch einen Tipp für den Regularitätsäquivalenzbeweis?

16.12.2023, 22:58

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RE: Regularität zweier Matrizen
Aus der Regularität von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B+UV^T=(I+UV^TB^{-1})B \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} I+UV^TB^{-1} \end{eqnarray*}$ regulär ist.
Dann ist noch $\begin{eqnarray*} (I+UV^TB^{-1})U=U(I+V^TB^{-1}U) \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man überlegen, dass aus $\begin{eqnarray*} (I+V^TB^{-1}U)y=0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Die andere Richtung geht ganz analog.

18.12.2023, 19:42

HiBee123

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RE: Regularität zweier Matrizen
Hallo HAL 9000
Ich hab jetzt nochmal nachgerechnet und glaube ich einen kleinen VZ-Fehler deinerseits entdeckt.
Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} I+B^{-1}\cdots \end{eqnarray*}$ heißen?
Gruß HiBee
(Was dann am Ende egal ist, weil 0 abgezogen/addiert wird)

19.12.2023, 11:06

HiBee123

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RE: Regularität zweier Matrizen
Hallo URL

irgendwie seh ich das mit dem y=0 noch nicht. Es kann ja auch U die Nullmatrix sein...

19.12.2023, 11:14

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RE: Regularität zweier Matrizen
Man kommt zunächst auf $\begin{eqnarray*} Uy=0 \end{eqnarray*}$ und setzt das in $\begin{eqnarray*} (I+V^TB^{-1}U)y=0 \end{eqnarray*}$ ein.

19.12.2023, 12:17

HiBee123

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RE: Regularität zweier Matrizen
Ach prima, Danke Freude