Rekursive Folge

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adventure Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge
Hallo,

es geht um die rekursiv definierte Folge mit der Vorschrift und dem Startwert

Durch das Berechnen einiger Folgenglieder (a2=2/3, a3=3/4 usw.) kann man vermuten, dass die Folge streng monoton steigend ist und ebenso liegt es nahe, dass eine mögliche explizite Vorschrift lauten könnte.

1.) Um die Vermutung der expliziten Vorschrift zu beweisen, reicht es da einfach aus, dass man durch Einsetzen von in die rekursive Vorschrift bestätigt ?

2.) Ich hatte den Gedanken, dass es vor dem Beweisen der Monotonie noch hilfreich wäre vorher mit Hilfe der expliziten Vorschrift noch eben zu nutzen, damit man in der entsprechenden Monotonie-Ungleichung keine Probleme mit negativen Zahlen im Nennerterm bekommt, so dass das Ganze nach ein paar Umformungen äquivalent zu wird. Ist das so ein gangbarer Weg für den Monotonienachweis oder sollte/könnte man da auch induktiv drangehen ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge
1) Fast. Du musst noch sicherstellen, dass die explizite Formel auch den Startwert besitzt. In dem Fall stimmt das aber auch.

2) Wenn du benutzen willst, dass "Beschränkt + Monoton = Konvergent" gilt, kannst du einige Dinge machen. Fragt sich warum du das tun willst, wenn du einfach in der expliziten Darstellung berechnen kannst.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von adventure
1.) Um die Vermutung der expliziten Vorschrift zu beweisen, reicht es da einfach aus, dass man durch Einsetzen von in die rekursive Vorschrift bestätigt ?

Was du hier beschreibst, entspricht genau dem Induktionsschritt eines entsprechenden Beweises der Formel durch Vollständige Induktion.

Was IfindU ergänzt hat, ist der zugehörige Induktionsanfang.
adventure Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch für die Hinweise zu 1) bzw. den Zusammenhang zur vollständigen Induktion.

Bei 2) war ich mir unsicher in welcher Reihenfolge ich starten soll, denn es war laut Aufgabentext zuerst eine Untersuchung auf Monotonie und Beschränktheit gefordert.
Danach sollte man ggf. die Schranken, so wie den Grenzwert und abschließend eine explizite Form angeben.

Offenbar vereinfacht sich einiges, wenn man sofort explizit ansetzt - sollte ich das dann auch einfach aus Effizienzgründen tun ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Übungsaufgabe, bei der du gewisse Dinge üben sollst. Was du davon mitnimmst, ist deine Sache. Wenn du üben willst, wie man bei rekursiven Folgen Konvergenz beweisen kann, ohne eine explizite Darstellung zu besitzen, dann würde ich die explizite Darstellugn komplett weglassen. Wenn du die Aufgabe "effizient" lösen willst, bietet sich wohl an die explizite Darstellung zu nehmen und flott darüber zu beweisen.

Bei beiden übst du etwas. Ob (und was) du üben willst, ist dir überlassen. Mach das, wo du für dich den größten Mehrwert sieht.
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