Teilfolgen nutzen

17.12.2023, 16:29	adventure	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilfolgen nutzen Hallo, es geht um diese beiden expliziten Folgen: $\begin{eqnarray} b_n=\frac{3^{n+1}+(-1)^{n}}{3^n}=3+(-\frac{1}{3})^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n=n \cdot sin(\frac{3}{2} \cdot \pi \cdot (2n-1)) \end{eqnarray}$ 1.) Ist es korrekt, wenn man bei der ersten Folge so argumentiert, dass die Folge deshalb konvergiert, weil sie aus zwei konvergenten Teilfolgen $\begin{eqnarray} b_{2k}=3+(-\frac{1}{3})^{2k}=3+(\frac{1}{9})^k \ ~ \text{und} \ ~ \ b_{2k-1}=3+(-\frac{1}{3})^{2k-1}=3-3 \cdot (\frac{1}{9})^k=3 \cdot(1-(\frac{1}{9})^k) \end{eqnarray}$ besteht, welche jeweils gegen 3 konvergieren ? 2.) Kann man analog bei der zweiten Folge sagen, dass sie divergiert, weil ihre Teilfolgen $\begin{eqnarray} c_{2k}=2k \ ~ \text{und} \ ~ c_{2k-1}=-(2k-1) \end{eqnarray}$ jeweils divergieren ? Der Sinusterm springt zwischen -1 und 1, daher meine alternative Folgenschreibweise mit $\begin{eqnarray} c_n=n \end{eqnarray}$ falls n gerade und $\begin{eqnarray} c_n=-n \end{eqnarray}$ falls n ungerade.
17.12.2023, 17:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilfolgen nutzen Kannst du beides so machen. Bei der Folge $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ würde ich allerdings argumentieren, dass sie die Summe einer konstanten Folge und einer Nullfolge ist. Die Folge $\begin{eqnarray} (c_n) \end{eqnarray}$ kann man per Additionstheorem übersichtlicher als $\begin{eqnarray} c_n=n\cos(n\pi) \end{eqnarray}$ schreiben.
18.12.2023, 11:44	adventure	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die hilfreiche und ergänzende Antwort. Statt mit den Additionstheoremen zu arbeiten, habe ich nochmal etwas mit den anderen, üblichen, trigonometrischen Zusammenhängen (Periodizität und Verschiebung) geübt, um auf deine Darstellung zu kommen : $\begin{eqnarray} sin(\frac{3}{2} \cdot \pi \cdot (2n-1))=sin(3 \pi \cdot n - \frac{3}{2} \pi)= sin(3 \pi \cdot n + \frac{1}{2} \pi)=cos(3 \pi \cdot n)=cos(n \cdot \pi) \end{eqnarray}$ Ich hoffe das passt so.
18.12.2023, 11:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
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