Unvollständigkeitssatz, Goldbach'sche Vermutung und Co.

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Unvollständigkeitssatz, Goldbach'sche Vermutung und Co.
Hallo zusammen smile

ich sinniere immer mal wieder über die folgenden Dinge, aber ich bin in der Materie absolut nicht fit. Wenn ihr Lust habt, mir ein paar Denkanstöße zu geben, würde ich mich sehr freuen! smile

Es gibt ja die Vermutung, dass die Goldbach'sche Vermutung möglicherweise wahr, aber nicht beweisbar ist. Nach Gödel wissen wir ja, dass es einen solchen Satz gibt. Aber diesen gibt es doch nur unter der Voraussetzung, dass das System nicht widersprüchlich ist.
Meine (erste) Frage ist nun: Das "System" von dem gesprochen wird, das sind doch die natürlichen Zahlen. Und diese sind ja durch die Peano-Axiome charakterisiert. Aber sind diese denn widerspruchsfrei? Oder kann man auch das nicht zeigen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sobald man die Arithmetik der natürlichen Zahlen hat kommt der Gödelsche Unvollständigkeitssatz und sagt, dass nicht alle wahren Aussagen beweisbar sind und dass die Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen werden kann. Jede Aussage dieser Theorie, die noch nicht bewiesen ist, ist wahr oder falsch. Jede wahre und noch nicht bewiesene Aussage dieser Theorie ist ein Kandidat für den Gödelschen Unvollständigkeitssatz. Jede die Arithmetik umfassende Theorie ist in diesem Sinne unvollständig und ihre Widerspruchsfreiheit in diesem Sinne nicht beweisbar. Die gesamte Mathematik ist unvollständig und ihre Widerspruchsfreiheit nicht beweisbar.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis.
Aber die Peano-Axiome sind doch nicht das einzige Modell, dass die natürlichen Zahlen beschreibt, richtig?
Könnte es nicht ein anderes Modell geben, in dem dann die Goldbach'sche Vermutung bewiesen werden kann, und diese Vermutung kein Axiom ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein, weil es nicht um die Axiome geht sondern um die natürlichen Zahlen selbst, und die sind bis auf Isomorphie eindeutig. Was noch nicht beweisen wurde, kann wahr oder falsch sein. Was noch nicht bewiesen wurde und wahr ist, kann unbeweisbar sein. Wir wissen es nicht. Wüssten wir es, könnten wir es als weiteres Axiom dazunehmen und hätten dieselbe Situation wieder vor uns : Unvollständigkeit bleibt.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Unvollständigkeitssätze sagen mir nicht nur etwas über die natürlichen Zahlen aus, wenn ich das richtig verstanden habe, sondern betreffen jedes (hinreichend mächtige) System. So treffen sie also auch beispielsweise die Geometrie, aufbauend auf den entsprechenden Axiomen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hilbert hat bewiesen, dass die euklidische Geometrie widerspruchsfrei ist, wenn die Theorie der reellen Zahlen widerspruchsfrei ist. Die reellen Zahlen umfassen die Arithmetik. Gentzen hat die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik bewiesen. Folgt daraus die Widerspruchsfreiheit der euklidischen Geometrie? Ich nehme an, dass das nicht so ist, weil Analysis mehr ist als Arithmetik. Unvollständigkeit bleibt auf jeden Fall erhalten, wenn man Systeme vergrößert.
 
 
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