Betragsgleichung mit Reihen

23.12.2023, 09:18	heizung	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsgleichung mit Reihen Hallo, es geht um die folgende Gleichung : $\begin{eqnarray} \|\sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{cos(n \cdot \pi)}{4^n}\|=819,2 \end{eqnarray}$ Man soll einen passenden Wert für $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ angeben. Mein Ansatz wäre es die Summe erst mal zu $\begin{eqnarray} \sum_{n=n_0}^{\infty} (-\frac{1}{4})^n \end{eqnarray}$ umzuschreiben. Damit sieht es ja schwer danach aus, dass man die geometrische Summenformel nutzen soll. Falls $\begin{eqnarray} n_0>0 \end{eqnarray}$ könnte man das Ganze durch die Differenz $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{4})^n - \sum_{n=0}^{n=n_0-1} (-\frac{1}{4})^n \end{eqnarray}$ ausdrücken, damit man die erwähnten Summenformeln anwenden kann. Damit würde ich jedoch zusammengefasst auf $\begin{eqnarray} \frac{4}{5} \cdot (-\frac{1}{4})^{n_0} \end{eqnarray}$ kommen, wodurch man die obige Betragsgleichung umformen kann zu: $\begin{eqnarray} \|(-\frac{1}{4})^{n_0}\|=\|(-1)^{n_0} \cdot 2^{-2 \cdot n_0}\|=2^{10}=1024 \end{eqnarray}$ Damit käme man auf die Lösung $\begin{eqnarray} n_0=-5<0 \end{eqnarray}$ , die meiner Summenzerlegung für $\begin{eqnarray} n_0>0 \end{eqnarray}$ widerspricht. Sind meine Gedanken und Ausführungen soweit in Ordnung und müsste man dann jetzt noch die Summenzerlegung für $\begin{eqnarray} n_0<0 \end{eqnarray}$ betrachten ?
23.12.2023, 09:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung mit Reihen Das passt alles soweit. Du kannst dir das Leben aber viel leichter machen, indem du schreibst $\begin{eqnarray} \sum_{n=n_0}^\infty \left ( - \frac 1 4 \right)^n =\sum_{n=0}^\infty \left ( - \frac 1 4 \right)^{n+n_0} =\left ( - \frac 1 4 \right)^{n_0} \sum_{n=0}^\infty \left ( - \frac 1 4 \right)^{n} \end{eqnarray}$ . Das gilt auch für negative $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ .
23.12.2023, 14:35	heizung	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hinweis mit der anderen Summenschreibweise ist natürlich Gold wert. Vielen Dank dafür und frohes Fest

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