Korrelationskoeffizient

23.12.2023, 12:07

Berni113

Korrelationskoeffizient

Hallo, folgendes Problem:
Ich habe eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und eine zweite Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y=aX, a\in\mathbb{R}, a>0 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe, dass der der Korrelationskoeffizient dann 1 sein muss, da eine Realisierung von X die Realisierung von Y voll und ganz bestimmt. Auch über die Definition des Korrelationskoeffizienten verstehe ich es:
$\begin{eqnarray*} \rho_{xy} = \frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var(x) Var(y)}} = 1 \end{eqnarray*}$ , weil
$\begin{eqnarray*} Cov(x,y) = aVar(x) \end{eqnarray*}$

Wo es bei mir hakt ist folgendes Beispiel:
Sei X nun die Zufallsvariable mit der Dichteverteilung:
$\begin{eqnarray*} f_x(x) =\left\{\begin{matrix} 1 & 0\leq x \leq 1\\ 0 & \text{sonst} \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Dann ist die Dichteverteilung von Y ja:
$\begin{eqnarray*} f_y(y) =\left\{\begin{matrix} 1/a & 0\leq y \leq a\\ 0 & \text{sonst} \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Die kumulierte Verteilungsfunktion von X und Y ist ja definiert über:
$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = P(X\leq x) \cap P(Y\leq y) \end{eqnarray*}$
Ist es dann richtig anzunehmen, dass
$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = F_x(x) F_y(y) = \frac{xy}{a} \end{eqnarray*}$ bzw:
$\begin{eqnarray*} f_{xy}(x,y) = \frac{\partial^2F_xy(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Weil, wenn ja, dann gibt es folgendes Problem:

Wenn ich mir die Kovarianz jetzt nun ausrechne über:
$\begin{eqnarray*} Cov(x,y) &= E((X-\mu_x)(Y-\mu_y)) = E(XY) - \mu_yE(X) - \mu_xE(y) +\mu_x\mu_y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = E(XY)-\mu_x\mu_y = E(XY) - a\mu_x^2 \end{eqnarray*}$

So ist
$\begin{eqnarray*} E(XY) = \int_0^a \int_0^1 xyf_{xy}(x,y) dx dy =\frac{a}{4} \end{eqnarray*}$
und damit ist die Kovarianz von oben dann Null, weil
$\begin{eqnarray*} E(XY) = a\mu_x^2 = \frac{a}{4} \end{eqnarray*}$

Ich glaube mein Fehler liegt in der Annahme, dass beide Zufallsvariablen unabhängig sind, weil sie sind ja offentsichtlich miteinander verknüpft und nicht unabhängig. Aber wie würde ich dann die Wahrscheinlichkeit
$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = P(X\leq x) \cap P(Y\leq y) \end{eqnarray*}$ und damit die kumulierte gemeinsame Verteilungsfunktion
$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) \end{eqnarray*}$ berechnen?

LG

23.12.2023, 16:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Berni113
Die kumulierte Verteilungsfunktion von X und Y ist ja definiert über:
$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = P(X\leq x) \cap P(Y\leq y) \end{eqnarray*}$

Hmm, seltsame Symbolik - meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = P(X\leq x\,\wedge\,Y\leq y) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Berni113
Ist es dann richtig anzunehmen, dass
$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = F_x(x) F_y(y) = \frac{xy}{a} \end{eqnarray*}$

Ok, du scheinst hier

$\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) \stackrel{?}{=} P(X\leq x)\cdot P(Y\leq y) = F_X(x)\cdot F_Y(y) \end{eqnarray*}$

rechnen zu wollen? Das gilt nur, falls $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind - was in deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} Y=aX \end{eqnarray*}$ gewiss nicht der Fall ist (außer wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ fast sicher konstant ist. unglücklich

Zitat:

Original von Berni113
Aber wie würde ich dann die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) = P(X\leq x) \cap P(Y\leq y) \end{eqnarray*}$ und damit die kumulierte gemeinsame Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{xy}(x,y) \end{eqnarray*}$ berechnen?

Nehmen wir mal den Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ an, dann ist

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y) = P(X\leq x,Y\leq y) = P(X\leq x,aX\leq y) = P\left(X\leq x,X\leq \frac{y}{a}\right) = P\left(X\leq \min\left\{x,\frac{y}{a}\right\} \right) = F_X\left(\min\left\{x,\frac{y}{a}\right\}\right) \end{eqnarray*}$ .

Alternativ geht natürlich auch $\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y) = F_Y\left(\min\left\{ax,y\right\}\right) \end{eqnarray*}$ .

23.12.2023, 16:45

Berni113

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Super, macht Sinn, danke smile

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