Sei GxH zyklisch, dann sind G und H zyklisch

23.12.2023, 13:38

KonverDiv

Sei GxH zyklisch, dann sind G und H zyklisch

Hallo

Ich möchte zeigen:

Angenommen $\begin{eqnarray*} G \times H \end{eqnarray*}$ ist zyklisch, dann sind $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ zyklisch.

Ich würde so vorgehen: Wenn $\begin{eqnarray*} G \times H \end{eqnarray*}$ ist zyklisch ist, dann gibt es einen Generator. Sei also $\begin{eqnarray*} (g,h) \end{eqnarray*}$ ein Generator von $\begin{eqnarray*} G \times H \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} g' \in G \end{eqnarray*}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray*} (g', e_H) \in G \times H \end{eqnarray*}$ , dann gibt es aber ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g,h)^n = (g^n, h^n) = (g', e_H) \end{eqnarray*}$ gilt, dies impliziert $\begin{eqnarray*} g = g' \end{eqnarray*}$ . Das heißt aber, dass die Potenzen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugen. Für $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ kann man ähnlich verfahren.

Geht das als Beweis? verwirrt

Danke für kommende Antworten!

23.12.2023, 14:19

Elvis

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Stimmt nicht. V4=C2xC2 ist nicht zyklisch.

Sorry, habe geantwortet ohne die Frage verstanden zu haben.

23.12.2023, 15:02

Elvis

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Hoffentlich bessere Antwort : Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. GxH enthält zu G und H isomorphe Untergruppen.
(Dein Beweis ist mir nicht klar geworden.)

23.12.2023, 15:50

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Hoffentlich bessere Antwort : Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. GxH enthält zu G und H isomorphe Untergruppen.
(Dein Beweis ist mir nicht klar geworden.)

Ja, das ist wahr, aber ich versuche mich an einem Beweis der auf "Isomorphie" weitestgehend verzichtet, der Begriff ist zur Lösung noch nicht eingeführt worden Augenzwinkern

Welche Stelle des Beweises ist undeutlich? smile

Ansonsten würde ich einen "verbesserten"?! Beweis anfügen:

Beweis:
- $\begin{eqnarray*} G \times H \end{eqnarray*}$ ist zyklisch d.h. es gibt einen Generator $\begin{eqnarray*} \langle (g_1, h_1) \rangle \in G \times H \end{eqnarray*}$
- Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \langle g_1 \rangle = G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle h_1 \rangle = H \end{eqnarray*}$ ist.
- Dabei ist $\begin{eqnarray*} \langle g_1 \rangle \subset G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle h_1 \rangle \subset H \end{eqnarray*}$ klar
- Es muss also noch gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} G \subset \langle g_1 \rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \subset \langle h_1 \rangle \end{eqnarray*}$
- Für beliebige $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \in H \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} (g,h) \in G \times H = \langle (g_1, h_1) \rangle \end{eqnarray*}$
- Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} g_2 \in G \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} (g_2, e_H) \in G \times H = \langle (g_1, h_1) \rangle \end{eqnarray*}$ , das heißt $\begin{eqnarray*} (g_2, e_H) \end{eqnarray*}$ wird von $\begin{eqnarray*} \langle (g_1, h_1) \rangle \end{eqnarray*}$ erzeugt.
- Mit anderen Worten: Potenzen von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ erzeugen das Element $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ , nach der Definition einer zyklischen Gruppe.
- Daraus folgern wir $\begin{eqnarray*} g_2 \in \langle g_1 \rangle \end{eqnarray*}$ , was zeigt, dass $\begin{eqnarray*} G \subset \langle g_1 \rangle \end{eqnarray*}$ .
- Wir haben also die andere Richtung gezeigt und damit $\begin{eqnarray*} G = \langle g_1 \rangle \end{eqnarray*}$ bewiesen.

23.12.2023, 17:51

Elvis

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Jetzt habe ich den Beweis verstanden. Da kann man nichts mehr dagegen sagen. Spätestens nächstes Jahr wirst du die geballte Kraft der Homomorphie- und Isomorphiesätze kennenlernen ... möge die algebraische Macht mit dir sein.

26.12.2023, 17:27

Guppi12

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Kleiner Flüchtigkeitsfehler. Du schreibst, dass g=g' impliziert wird. Natürlich meinst du g^n = g'.
Ansonsten sehr gut aufgeschrieben.

27.12.2023, 14:29

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Jetzt habe ich den Beweis verstanden. Da kann man nichts mehr dagegen sagen. Spätestens nächstes Jahr wirst du die geballte Kraft der Homomorphie- und Isomorphiesätze kennenlernen ... möge die algebraische Macht mit dir sein.

Hallo @Elvis,
danke sehr für die Bestätigung! Freude

Zitat:

Original von Guppi12
Kleiner Flüchtigkeitsfehler. Du schreibst, dass g=g' impliziert wird. Natürlich meinst du g^n = g'.
Ansonsten sehr gut aufgeschrieben.

Hallo @Guppi12,
danke sehr für die Korrektur des ersten Beweises Freude

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