Folgen für Schneeflockenmuster

25.12.2023, 17:19

whiteflake

Folgen für Schneeflockenmuster

Hallo,

es geht um die Konstruktion von Schneeflockenmustern (siehe Anhang).

Das Startmuster $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ soll aus 4 gleich großen, geraden Teilstrecken bestehen, die jeweils die Länge 1/3 haben.

Das n-te Muster $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ entsteht mittels Ersetzen von jedem geraden Teilstück des vorherigen Musters $\begin{eqnarray*} M_{n-1} \end{eqnarray*}$ durch das n-1 Mal um den Faktor 1/3 verkleinerte Startmuster $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ (siehe Anhang).

Es sollen nun die folgenden beiden Dinge untersucht werden:

1.) Das Konvergenzverhalten der Schnittkantenlänge der n-ten Figur

2.) Das Konvergenzverhalten der (mit einer gedachten waagerechten Linie am Musterboden) eingeschlossenen Fläche der n-ten Figur

Für 1) habe ich mir mit dem Ansatz "Teilstücke mal Kantenlänge" die explizite Folge $\begin{eqnarray*} L_n=4^n \cdot (\frac{1}{3})^n =(\frac{4}{3})^n \end{eqnarray*}$ überlegt und da 4/3>1 würde die Folge gegen unendlich divergieren.

Für 2) hatte ich die Idee, dass zu dem vorigen Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F_{n-1} \end{eqnarray*}$ immer ein (kleineres) Dreieck pro Kante des (n-1)-ten Musters dazu kommt.
Damit käme ich auf den rekursiven Zusammenhang $\begin{eqnarray*} F_n=F_{n-1}+4^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot ((\frac{1}{3})^n)^2 \end{eqnarray*}$ .
Es wäre schön, wenn man auch hier auf eine explizite Form käme. verwirrt

Gehen meine Überlegungen in die richtige Richtung ?

Wie sind eure Ansätze zu der Aufgabe ?

25.12.2023, 18:45

willyengland

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Zur Info, das ist die Koch'sche Kurve:
https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve

Dort steht auch was zu deinen Fragen.

25.12.2023, 19:47

SC/MP

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Schulmathematik » Analysis » Folgen für Schneeflockenmuster » Eulentalernte
Geometrische Naturkonstanteneinheiten, Faktoren ohne Eigenschaften und deren gemeinsam verwirkte Verzinnung

Das Lackmuster $\begin{eqnarray*} M_0 \end{eqnarray*}$ soll aus einer Strecke bestehen, die lückenlos in drei gleichlange Strecken zerlegt wird, die sich nicht überlappen und gemeinsam aneinandergereiht die Länge und die Form der ursprünglich in drei Strecken zerlegten Strecke haben...

verwirrt

25.12.2023, 21:58

whiteflake

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Zitat:

Zur Info, das ist die Koch'sche Kurve:

Danke, damit habe ich den Hinweis mit der geometrischen Summe entdeckt.

Im Vergleich zur vorigen Figur kommen immer viermal so viele Dreiecke dazu, welche jeweils flächenmäßig nur noch 1/9 Mal so groß sind.

Das führt mich dann ausgehend vom Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F_1=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{1}{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{36} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} F_n=\frac{\sqrt{3}}{36} \cdot (1+(\frac{4}{9})+(\frac{4}{9})^2+...+(\frac{4}{9})^{n-1}) \end{eqnarray*}$

Mit der geometrischen Summenformel erhalte ich $\begin{eqnarray*} F_n=\frac{\sqrt{3}}{36} \cdot \frac{1-(\frac{4}{9})^n}{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{36} \cdot \frac{9}{5} \cdot (1-(\frac{4}{9})^n)=\frac{\sqrt{3}}{20} \cdot (1-(\frac{4}{9})^n) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} F_n= \frac{\sqrt{3}}{20} \end{eqnarray*}$

Passt das so ?

27.12.2023, 18:19

whiteflake

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Zitat:

Es sollen nun die folgenden beiden Dinge untersucht werden:

1.) Das Konvergenzverhalten der Schnittkantenlänge der n-ten Figur

2.) Das Konvergenzverhalten der (mit einer gedachten waagerechten Linie am Musterboden) eingeschlossenen Fläche der n-ten Figur

Bei 1) bin ich mir mittlerweile recht sicher, dass meine Lösung stimmen sollte.

Kann mir jemand für meine Lösung zu 2) im letzten Beitrag vielleicht noch ein Feedback geben ?

27.12.2023, 18:48

Romaxx

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Du musst den Link von willyengland lediglich als Vergleich hernehmen.

Hier ist $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Ergebnisse sind identisch.

Auch die Herleitung der geometrischen Reihe ist gleich.

Stimmt aus meiner Sicht daher!

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