Abbildung V nach W und lineare Unabhängigkeit von v1,...,vn

30.12.2023, 19:57	Waechter1	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung V nach W und lineare Unabhängigkeit von v1,...,vn Hallo, Seien $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ zwei Vektorräume und $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ linear und $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \in V \end{eqnarray}$ . Ich möchte (ohne Widerspruchsbeweis) zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} (f(v_1),...,f(v_n)) \end{eqnarray}$ linear unabhängig in $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ sind, dass daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ linear unabhängig in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sind. Meine Idee wäre: Nach Definition haben wir $\begin{eqnarray} 0 = \lambda_1 f(v_1) + ... + \lambda_n f(v_n) = f(\lambda_1 v_1) + ... + f(\lambda_n v_n) = f(\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n) \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \end{eqnarray}$ und der Linearität, impliziert dies, dass $\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n = 0 \end{eqnarray}$ ist, was der Fall ist, wenn $\begin{eqnarray} \forall \lambda_i = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Damit ist die lineare Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ gezeigt. Danke!
31.12.2023, 09:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung V nach W und lineare Unabhängigkeit von v1,...,vn Aus $\begin{eqnarray} f(\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n)=0 \end{eqnarray}$ folgt nicht $\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n = 0 \end{eqnarray}$ , und daraus folgt nicht $\begin{eqnarray} \forall \lambda_i = 0 \end{eqnarray}$ . Damit ist die lineare Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ nicht gezeigt.
31.12.2023, 09:54	Waechter1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung V nach W und lineare Unabhängigkeit von v1,...,vn Dann kann man das nur über den Widerspruchsbeweis zeigen, oder geht das auch direkt aus der Annahme?
31.12.2023, 10:19	Waechter1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung V nach W und lineare Unabhängigkeit von v1,...,vn Sei $\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n = 0 \end{eqnarray}$ eine Linearkombination, für die lineare Unabhängigkeit zeigen wir, dass $\begin{eqnarray} \lambda_i = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} 0 = f(\lambda_1 v_1) + ... + f(\lambda_n v_n) = \lambda_1 f(v_1) + ... + \lambda_n f(v_n) \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \lambda_i = 0 \end{eqnarray}$ ist, weil $\begin{eqnarray} f(v_i),...,f(v_n) \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Daraus folgt dann, dass die $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind.
31.12.2023, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. $\begin{eqnarray} \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n=0\Rightarrow 0=f(0)=f(\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n)=\lambda_1f(v_1)+...+\lambda_nf(v_n)\Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray}$

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