Leerer Schnitt in naiver Mengenlehre

03.01.2024, 01:13

Pippen

Leerer Schnitt in naiver Mengenlehre

$\begin{eqnarray*} \cap_{i\in\emptyset} M_i = \{x | i \in \emptyset \to x \in M_i\} = \{x | x = x\} \end{eqnarray*}$ .

Bis dort sind sich Deiser und ich einig, aber wir wissen doch, dass die Allmenge, auch in der naiven Mengenlehre, nicht existiert, also würde ich messerscharf folgern

$\begin{eqnarray*} \cap_{i\in\emptyset} M_i = \{x | i \in \emptyset \to x \in M_i\} = \{x | x = x\} =\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Was spricht dagegen?

03.01.2024, 07:27

G030124

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RE: Leerer Schnitt in naiver Mengenlehre
i kann nur die leere selbst Menge sein.

Ich finde dazu:
"Es gilt: Die leere Menge ist Teilmenge von jeder beliebigen Menge M: ∅⊂M.
Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge. "

Im Bild: i ist ein leerer Sack im leeren Sack.

Dein Index bei dem Schnittmengenzeichen kommt mir merkwürdig vor. Kann man das wirklich so schreiben?

03.01.2024, 08:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Was spricht dagegen?

Z.B. dass das sonst stets gültige

$\begin{eqnarray*} \left(\bigcap_{i\in A} M_i\right) \cap \left(\bigcap_{i\in B} M_i\right) = \bigcap_{i\in A\cup B} M_i \end{eqnarray*}$

dann nicht mehr stimmt, wenn man im Fall $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B=\emptyset \end{eqnarray*}$ deiner Ansicht folgt.

03.01.2024, 11:44

Leopold

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Uferlose Mengen zu bilden, überlasse ich den Philosophen und ihrem Spaß mit den Grenzen des Denkens. Meine Mengen sind immer Teilmengen einer wohlbestimmten, nicht immer explizit genannten, Grundmenge $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ , zum Beispiel

$\begin{align*} \Omega = \mathbb{N} \, , \ \ \Omega = \mathbb{R} \, , \ \ \Omega = \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} \left( \Omega , \cup , \cap \right) \end{align*}$ eine Boolesche Algebra. $\begin{align*} \emptyset \end{align*}$ ist das neutrale Element bezüglich $\begin{align*} \cup \end{align*}$ und $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ das neutrale Element bezüglich $\begin{align*} \cap \end{align*}$ . Bildet man in vernünftigen algebraischen Strukturen eine leere Summe, ein leeres Produkt, eine leere Vereinigung, einen leeren Schnitt, so wird man dafür $\begin{align*} 0, 1, \emptyset, \Omega \end{align*}$ festlegen, hier also:

$\begin{align*} \bigcup_{A \in \emptyset} A = \emptyset \, , \ \ \bigcap_{A \in \emptyset} A = \Omega \end{align*}$

Das harmoniert mit den üblichen Gesetzen der Struktur (siehe den Beitrag von HAL). Man muß schon gute Gründe haben, um im Einzelfall von dieser Konvention abzuweichen, und sollte das im Text ausdrücklich vermerken.

03.01.2024, 13:30

Elvis

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Ich verstehe nicht, wieso $\begin{eqnarray*} \{x|x=x\}=\emptyset \end{eqnarray*}$ gelten sollte. $\begin{eqnarray*} x=x \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ für jede Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
Übrigens geht Deiser von einem Mengensystem aus, das ist eine Menge, deren Elemente Mengen sind. Das ist nicht naive Mengenlehre, und die schreckliche Allmenge hat nichts damit zu tun.

04.01.2024, 00:44

Pippen

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Zunächst nochmal der Hinweis, dass wir uns hier nur in der naiven Mengenlehre bewegen und wissen wollen, wie da der leere Schnitt aussähe!

Zitat:

Original von Elvis
Ich verstehe nicht, wieso $\begin{eqnarray*} \{x|x=x\}=\emptyset \end{eqnarray*}$ gelten sollte.

Weil die Allklasse wegen ihrer Widersprüchlichkeiten nicht existiert. Das war meine Idee. (Siehe unten für eine neue)

Zitat:

Übrigens geht Deiser von einem Mengensystem aus, das ist eine Menge, deren Elemente Mengen sind. Das ist nicht naive Mengenlehre, und die schreckliche Allmenge hat nichts damit zu tun.

Das ist sehr wohl naive Mengenlehre, auch die kennt Mengensysteme. Schau dir bitte den Link an. Deiser handelt die komplette Einführung in naiver Mengenlehre ab, aus didaktischen Gründen, wie er erläutert.

Aber wie klingt folgendes: Die naive Mengenlehre ist inkonsistent, eben zB weil man darin die Allklasse konstruieren kann. Also gilt qed, d.h. der leere Schnitt ist durchaus die Allklasse, aber man kann genauso die leere Menge als sein Ergebnis angeben oder 7,5. Deiser hat dann aus didaktischen Gründen die Allklasse gewählt, vielleicht weil man an ihr das Prinzip der leeren Wahrheit exerzieren kann? Aber gerade in einer Einführung hätte ich mir eine weitere Erklärung gewünscht, anstatt selbst rumraten zu müssen.

04.01.2024, 08:37

G040124

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Was solll eine leere Wahrheit sein? verwirrt

Wo nichts ist, gibt es keinen Wahrheiten außer die Wahrheit, dass halt nichts ist. Wer sollte diese konstatieren?

Dass nicht Nichts ist, ist falsch. Sonst gäbe es auch diese Forum nicht und Leute wie dich, die solche Fragen stelllen könnten.

04.01.2024, 09:58

Elvis

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Selbst Cantor wusste schon sehr genau, dass eine Mengenlehre ohne Einschränkungen inkonsistent ist. Deiser erklärt die naive Mengenlehre so, dass man sich auf Mengen beschränken kann, die mit einer axiomatischen Mengenlehre verträglich sind. Ohne eine solche Vereinbarung wird die Mathematik widerspruchsvoll und damit sinnlos. Auch Leopold hat schon angedeutet, dass man stets von einer wohldefinierten Grundmenge ausgehen kann. Wer das nicht will, kann gerne zu einer axiomatischen Mengenlehre übergehen, dann treten auch keine unnötigen Probleme auf, lediglich die Definitionen, Sätze und Beweise werden erheblich schwieriger zu verstehen. Übrigens ist die Klasse aller Mengen kein Problem, sie ist nur keine Menge.

09.01.2024, 02:41

Pippen

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Hier schreibt Deiser: Streng nach Definition gilt […] $\begin{eqnarray*} \cap\emptyset \end{eqnarray*}$ = {x | x ist Objekt}? Wie interpretiert ihr diese Aussage, wie gesagt, Deiser behandelt ZFC erst später und da ist klar, dass der leere Schnitt gleich der Referenzmenge S ist, die bei allen Mengenbildungen vorausgesetzt wird.

Ich habe jetzt zu Deisers Lösung dazugeschrieben: naiv gedacht in naiver Mengenlehre, denn die Allmenge erweist sich später als widersprüchlich und damit unmöglich.

Was meint ihr?

Hier übrigens sein ganzes Buch frei zugänglich und online: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1

09.01.2024, 08:15

Elvis

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Referenzmenge (Deiser) = Grundmenge (Leopold). Diese Art, "naive" Mengenlehre statt axiomatische Mengenlehre zu machen ist nicht naiv sondern allgemein üblich, tragfähig und bis heute widerspruchsfrei.

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