Kommutativgesetz der Multiplikation vs. Division

04.01.2024, 20:29

blub85

Kommutativgesetz der Multiplikation vs. Division

Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt $\begin{eqnarray*} a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht es nun aus, wenn die Division mit ins Spiel kommt?

(1)
$\begin{eqnarray*} a \cdot b : c \end{eqnarray*}$ darf doch zu $\begin{eqnarray*} b \cdot a : c \end{eqnarray*}$ umgeformt werden, oder?

(2)
Wohingegen $\begin{eqnarray*} a : c \cdot d \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} a : d \cdot c \end{eqnarray*}$ umgeformt werden darf, oder?

Wie könnte man dies begründen, dass (1) -aufgrund des Kommutativgesetzes- erlaubt ist, (2) aber nicht?

04.01.2024, 21:25

Romaxx

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Du sagst es schon richtig, es ist das Kommutativ-Gesetz der Multiplikation.

Streng genommen gibt es in einem Körper - so nennt man das Objekt in der Mathematik, auf dem z.B. das Kommutativ-Gesetz gilt - keine Division als Operation.

Wenn bei der Berechnung ein Doppelpunkt auftaucht, meint man, dass man mit dem inversen Element, hier auch inverse Zahl, des Elementes nach dem Doppelpunkt multipliziert.

Bei deinem Beispiel Nummer 2 schreibt man dann:

$\begin{eqnarray*} a:c\cdot d=a\cdot c^{-1}\cdot d \end{eqnarray*}$

Jetzt, da wir aus dem Doppelpunkt und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ und das inverse Element $\begin{eqnarray*} c^{-1} \end{eqnarray*}$ gebildet haben, kannst du das Kommutativ-Gesetz der Multiplikation anwenden, wie du lustig bist.

Jetzt taucht vielleicht die Frage auf, was ist das inverse Element hier konkret auf eine Zahl angewandt?
Kommst du selber drauf?

05.01.2024, 13:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von blub85
Wie könnte man dies begründen, dass [...] (2) nicht erlaubt ist?

Einfach indem man ein Gegenbeispiel angibt.

Es schlagen immer wieder Leute auf, denen das "nicht genug" ist, d.h. die meinen, man müsse das Nicht-Gelten einer Behauptung auch "seriöser" beweisen bzw. begründen.

Aus didaktischer Hinsicht manchmal nachvollziehbar. Streng logische Gründe gibt es für diese Ansicht aber nicht: Dass eine Behauptung in Form einer Gleichung falsch ist bedeutet ja nicht, dass für jeden denkbaren Parameterfall dort Ungleichheit herrschen muss - es reicht bereits EINER! Augenzwinkern

06.01.2024, 10:44

Leopold

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Das Minuszeichen kann binär als Subtraktionszeichen oder unär als Zeichen für das additive inverse Element verwendet werden. In der modernen Algebra sieht man das binäre Subtraktionszeichen als abgeleitete Operation an, nämlich als (i) Addition der Gegenzahl. Man könnte aber auch anders vorgehen und auf das unäre Subtraktionszeichen verzichten. Zumindest in Termen ohne Punktrechenarten funktioniert das, (ii) man subtrahiert ein Startglied einfach von 0.

$\begin{align*} \text{(i)} \ \ - 3 + 5 + 9 - 7 = (-3) + 5 + 9 + (-7) \end{align*}$
$\begin{align*} \text{(ii)} \ \ - 3 + 5 + 9 - 7 = 0 - 3 + 5 + 9 - 7 \end{align*}$

Und wenn man nur Punktrechenarten hat, kann man analog vorgehen: plus, minus, null werden durch mal, geteilt, eins, das additive Inverse durch das multiplikative Inverse ersetzt. Man könnte Folgendes machen:

$\begin{align*} \text{(i)} \ \ : 3 \cdot 7 \cdot 8 : 6 = \frac{1}{3} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{6} \end{align*}$
$\begin{align*} \text{(ii)} \ \ : 3 \cdot 7 \cdot 8 : 6 = 1 : 3 \cdot 7 \cdot 8 : 6 \end{align*}$

Nun wirst du sagen, einen Term mit beginnendem „:3“ hast du noch nie gesehen. Richtig, du siehst das hier exklusiv zum ersten Mal. Aber konsequent wäre das. Und es würde auch das Kommutativgesetz gelten, mit der Maßgabe, daß das davorstehende Zeichen mitzunehmen ist. Und selbstredend würde man auf ein + oder · beim Startglied verzichten.

$\begin{align*} - 3 + 5 + 9 - 7 = 9 - 7 - 3 + 5 \end{align*}$
$\begin{align*} : 3 \cdot 7 \cdot 8 : 6 = 8 : 3 : 6 \cdot 7 \end{align*}$

Nicht daß ich das so empfehlen wollte, es gibt diese Schreibweise nicht. Man sollte sich schon an das halten, was üblich ist. Ich wollte nur die Analogie zwischen den Strich- und Punktrechenarten aufzeigen.

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