Was bedeutet diese Angabe bezüglich eines Vektorfeldes?

05.01.2024, 21:50	M90	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet diese Angabe bezüglich eines Vektorfeldes? Meine Frage: Ich verstehe die Darstellung von F nicht ganz. Sind die vi Elemente von R^n? Und sind die fi Abbildungen von R^3 nach R? Ich verstehe dann aber nicht wie man auf die Darstellung der Divergenz kommt? Warum wird dort nach vi partiell differenziert? (Angabe habe ich als Bild drangehängt) Meine Ideen: Ideen schon oben geschrieben Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
05.01.2024, 22:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Es muss $\begin{eqnarray} F\in C^1(\mathbb R^n, \mathbb R^n) \end{eqnarray}$ heißen. Dann ist $\begin{eqnarray} F = (F_1, F_2, \ldots, F_n) = \sum F_i e_i \end{eqnarray}$ eine Darstellung (bzgl. der Standardbasis). Nun ist es die üblche Darstellung, aber man könnte natürlich statt der Standardbasis $\begin{eqnarray} (e_i) \end{eqnarray}$ eine andere Basis $\begin{eqnarray} (v_i) \end{eqnarray}$ nehmen. Die Aussage sagt nun aus, dass man die Divergenz bzgl. jeder Basis berechnen kann und immer das gleiche herauskommt.
05.01.2024, 22:39	MB90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich verstehe dennoch nicht wie man auf die Darstellung der Divergenz kommt, die in der Angabe steht. Warum werden die fi partiell nach vi integriert?
05.01.2024, 22:57	MB90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe jetzt. Das ist die Richtungsableitung
09.01.2024, 17:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich beweise die Invarianz der Divergenz bei (nichtkrummliniger) Koordinatentransformation: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Geht von kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray} x^i \end{eqnarray}$ vermöge der Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} x^i=x^i(\tilde x^j) \end{eqnarray}$ zu beliebigen anderen Koordinaten $\begin{eqnarray} \tilde x^j \end{eqnarray}$ über, so transformieren sich die Koordinaten des Vektorfeldes bekanntlich wie folgt $\begin{eqnarray} F^i=\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\tilde F^j \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j} \end{eqnarray}$ die neuen Basisvektoren und $\begin{eqnarray} \tilde F^j \end{eqnarray}$ die neuen Koordinaten des Vektorfeldes. Wir bilden wie im kartesischen Fall die Divergenz durch Differenzieren nach $\begin{eqnarray} x^i \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten und Summieren über i (Das Summanzeichen lassen wir weg.) $\begin{eqnarray} \underbrace{\tfrac{\partial F^i}{\partial x^i}}_{\text{Divergenz}}=\tfrac{\partial}{\partial x^i} \left (\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\tilde F^j \right )=\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\tfrac{\partial \tilde F^j}{\partial x^i}=\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\underbrace{\tfrac{\partial \tilde F^j}{\partial \tilde x^k}\tfrac{\partial \tilde x^k}{\partial x^i}}_{\text{Kettenregel}} \end{eqnarray}$ ____________________________(Gleichung ) Von den drei Faktoren auf der rechten Seite kann man das Produkt von zwei Faktoren zur Einheitsmatrix zusammen fassen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\tfrac{\partial \tilde x^k}{\partial x^i}=\tfrac{\partial \tilde x^k}{\partial x^i}\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}=\tfrac{\partial \tilde x^k}{\partial \tilde x^j}=\delta^k_j \end{eqnarray}$ Demnach kann man für die Gleichung () schreiben $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial F^i}{\partial x^i}=\tfrac{\partial}{\partial x^i} \left (\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\tilde F^j \right )=\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\tfrac{\partial \tilde F^j}{\partial x^i}=\tfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^j}\underbrace{\tfrac{\partial \tilde F^j}{\partial \tilde x^k}\tfrac{\partial \tilde x^k}{\partial x^i}}_{\text{Kettenregel}}=\tfrac{\partial \tilde F^j}{\partial \tilde x^k}\delta^k_j=\tfrac{\partial \tilde F^j}{\partial \tilde x^j} \end{eqnarray}$ Das ist der gleiche Ausdruck wie auf der linken Seite in Gleichung (*), womit die Invarianz der Divergenz gegenüber konstanten Koordinatentransformationen bewiesen ist.

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