Konfidenzintervalle

06.01.2024, 20:08	eternal	Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervalle Hallo, es geht um das 95%-Konfidenzintervall $\begin{eqnarray} \left[\bar{x}-1,96 \cdot \sigma_{\bar{x}} \ ~ \ ; \ ~ \ \bar{x}+1,96 \cdot \sigma_{\bar{x}} \right] \end{eqnarray}$ bzw. um die Frage warum der Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ der eigentlichen Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in diesem auf Stichprobenmittelwerten basierenden Intervall liegen muss - was genau rechtfertigt das ? Meine Idee zur Begründung wäre : Wenn man normalverteilungsbedingt davon ausgeht, dass 95% der Stichprobenmittelwerte $\begin{eqnarray} \bar{x} \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} \left[\mu-1,96 \cdot \sigma_{\bar{x}} \ ~ \ ; \ ~ \ \mu+1,96 \cdot \sigma_{\bar{x}} \right] \end{eqnarray}$ liegen, dann folgt daraus unmittelbar, dass jedes der sich daraus ergebenden $\begin{eqnarray} \left[\bar{x}-1,96 \cdot \sigma_{\bar{x}} \ ~ \ ; \ ~ \ \bar{x}+1,96 \cdot \sigma_{\bar{x}} \right] \end{eqnarray}$ -Intervalle automatisch $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ abdecken muss. Ich weiß nicht ob der Vergleich angebracht ist, aber vom Prinzip her kann man sich ja einen Kreis k mit dem Mittelpunkt M und Radius r vorstellen. Wenn man sich nun innerhalb von k den Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ eines weiteren Kreises $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ mit demselben Radius r hernimmt, dann muss $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ ja zwangsweise ebenso M umschließen. Das ist vermutlich eine ziemlich banale Argumentation aber etwas anderes fällt mir da leider nicht ein. Wie würdet ihr einerseits meinen Ansatz bewerten und zum anderen selbst den oben erwähnten Zusammenhang begründen ?
06.01.2024, 23:18	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervalle Ich hatte mal an dieser Stelle einige Gedanken zusammengetragen, die Dir vielleicht was nützen. Mein Schlußsatz vom 30.01.2022 14:08 soll auch weiterhin Gültigkeit haben.
07.01.2024, 11:18	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, folgender Ausdruck gilt bei der Herleitung des $\begin{eqnarray} (1-\alpha) \end{eqnarray}$ -Konfidenzintervalls: $\begin{eqnarray} {\displaystyle P\left({{\overline {X}}-z_{\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+z_{\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\right)=1-\alpha } \end{eqnarray}$ Man kann nun die Ungleichungskette im Inneren von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ äquivalent umformen, sodass $\begin{eqnarray} {\overline {X}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ die Plätze tauschen. Das zeigt meiner Meinung nach genau das, was eternal sagen möchte. Die Argumentation mit den Kreisen mal ausgenommen . Weitere Kommentare von Helfern? Grüße Romaxx

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