Beweis R^4 ist die direkte Summe aus zwei Vektoren

Neue Frage »

thesaikos Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis R^4 ist die direkte Summe aus zwei Vektoren
Meine Frage:
Guten Tag Liebe Community,
Ich hab für eine Hausaufgabe bei welcher ich leider nicht weiter komme. Die Aufgabe lautet: Sei R^4 als R-Vektorraum zu betrachten und seien
W_1 := Span_R({(1,1,2,-1),(1,1,3,1)}), W_2 := ({(0,2,1,1), (1,1,2,0)}). Beweisen Sie, dass R^4 = W_1 + W_2

Meine Ideen:
Ich war leider bei Spannvektoren nicht in der Uni gewesen, da ich krank war und habe leider keine Ahnung wie man hier überhaupt richtig anfängt. Ich weiß W1 und W2 sind Erzeugendensysteme und man müsste dann für R^4 = W1 + W2 zeigen, dass jeder Vektor in R^4 als Linearkombination von W1 und W2 dargestellt werden kann und man muss zeigen, dass die Schnittmenge von W1 und W2 der Nullvektor ist, den zweiten Punkt weiß ich wie man den zeigt, aber beim ersten komme ich leider nicht weiter, es wäre super wenn einer von euch mir helfen könnte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sicher hinreichend zu zeigen, dass die vier genannten Vektoren eine Basis des bilden. Also flugs die Determinante der zugehörigen -Matrix ausrechnen, und da sollte dann ein von Null verschiedener Wert herauskommen.

Zitat:
Original von thesaikos
und man muss zeigen, dass die Schnittmenge von W1 und W2 der Nullvektor ist

Sollte sich erübrigen, denn nach den obigen Erkenntnissen wissen wir sofort

,

damit hat die Schnittmenge die Dimension 2+2-4=0.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Berechnung der Determinante war auch meine erste Idee.
Alternativ: Man nimmt einen allgemeinen Vektor und zeigt, dass er sich als Linearkombination der vier gegebenen Vektoren darstellen lässt. Das führt letztlich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems und zeigt, dass die vier gegebenen Vektoren den aufspannen.
Dieser Weg funktioniert auch in dem Fall, wenn die Anzahl der gegebenen Vektoren nicht gleich der Dimension des Raumes ist, z,B, wenn man zeigen soll, dass drei Vektoren aus dem einen gewissen dreidimensionalen Unterraum des aufspannen. In dem Fall kann man keine Determinante berechnen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »