Negationen der Aussagenlogik

10.01.2024, 13:41

MMchen60

Negationen der Aussagenlogik

Liebe Forumsgemeinde, gibt es irgendwo im Netz eune Zusammenfassung der Negationen zur Aussagenlogik? Wäre toll, wenn das einer wüsste. Nicht nur die einfachen, sondern auch die komplizierten Negationen, wie ich z. B. die Aufgabe im Anhang interpretiere.
Also Zeile 1 der Lösung ist mir klar.
Und auch Zeile 2, denn die Logik $\begin{eqnarray*} \vee (A \wedge B \wedge C) \end{eqnarray*}$ ist ja in den ersten beiden Logiken enthalten und kann deshalb weggelassen werden.
In Zeile 3 wird nun die linke Seite negiert und das $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} (B \wedge C) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A \wedge B) \end{eqnarray*}$ wird zur Implikation. Wieso und warum bzw. ist das eine der Negationsregeln.
Vielen Dank für Antwort.

10.01.2024, 14:41

Elvis

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"Das eine oder das andere"
Ist gleich
"Nicht das eine, dann das andere"

Danach kommen die Regeln von de Morgan. Die machen aus dem UND ein ODER.

Und dann wird in den beiden Klammern angewandt, was ich schon sagte.

Vielleicht ist der folgende Link hilfreich :
https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%...ssagen_negieren

11.01.2024, 07:33

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Vielleicht ist der folgende Link hilfreich :
https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%...ssagen_negieren

Hallo, Ja, danke. Aber aus dem Link erschließt sich für mich nicht, wieso von Zeile 2 nach Zeile 3 aus einem Oder (sei $\begin{eqnarray*} (B \wedge C) \end{eqnarray*}$ mal X und $\begin{eqnarray*} (A \wedge B) \end{eqnarray*}$ mal Y) aus $\begin{eqnarray*} X \vee Y \end{eqnarray*}$ durch negieren von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ aus dem $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ plötzlich eine Implikation wird.

11.01.2024, 10:26

Elvis

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Im Link stehen zumindest die Regeln von de Morgan. Sie werden 2 mal angewandt, um von Zeile 3 zu Zeile 4 zu kommen. Dabei ist rechts $\begin{eqnarray*} X\Leftrightarrow \lnot \lnot X \end{eqnarray*}$ zu beachten.
Wie und warum eine Disjunktion einer Implikation aequivalent ist, habe ich in Worten erklärt. Hier noch mal als logische Tautologie, die man sich mittels Wahrheitstafel beweisen kann: $\begin{eqnarray*} (X\vee Y) \Leftrightarrow ((\lnot X) \Rightarrow Y) \end{eqnarray*}$ . Damit kommt man durch einmalige Anwendung von Zeile 2 zu Zeile 3 und durch zweimalige Anwendung von Zeile 4 zu Zeile 5.

Bei den 16 Wahrheitsfunktionen $\begin{eqnarray*} f:\{X,Y\}\rightarrow \{0,1\} \end{eqnarray*}$ , die in der Aussagenlogik auftreten, ist ganz besonders interessant, dass sie nicht unabhängig voneinander sind. Nicht einmal ich weiß auf Anhieb zu sagen, wie viele Relationen es zwischen diesen Wahrheitsfunktionen gibt.

Noch ein interessanter Link: http://www.fb10.uni-bremen.de/khwagner/g...2/kapitel3.aspx

Korrektur : Bei n unabhängigen Aussagen gibt es $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Wahrheitsfunktionen.
Korrektur der Korrektur: n unabhängige Aussagen haben $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ verschiedene Belegungen mit Wahrheitswerten 0 und 1, also $\begin{eqnarray*} 2^{(2^n)} \end{eqnarray*}$ Wahrheitsfunktionen. Meine ursprüngliche Behauptung mit 16 Wahrheitsfunktionen für 2 Variable bleibt also richtig.

13.01.2024, 11:50

Elvis

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Vielleicht interessiert es dich auch, warum es nicht so ganz einfach ist, die Aussagenlogik vollständig zu verstehen. Zufällig bin ich heute auf diesen Artikel über Dedekind-Zahlen gestoßen: https://www.spektrum.de/kolumne/warum-di...br /> 20finden.

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